Cuc tri trong hinh hoc

Bài toán cực trị Phần hình học
I. một số kiến thức cơ bản.
1. Cực trị trong hình học là gì?
Một số bài toán hình học mà trong đó các hình được nêu ra có cùng một tính chất và đòi hỏi ta tìm được hình sao cho có một đại lượng nào đó (số đo góc, độ dài đoạn thẳng, số đo chu vi, số đo diện tích ...) đạt giá trị lớn nhất (GTLN) hay ghi là (max) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) hay là ghi (min) được gọi là bài toán cực trị hình học.
1) Lời giải của bài toán cực trị thường được trình bày theo hai cách:
Cách 1: Chỉ ra một hình rồi chứng minh hình đó có đại lượng cần tìm cực trị lớn hơn đại lượng tương ứng của mọi hình khác (nếu bài toán tìm GTLN) và nhỏ hơn đại lượng tương ứng của hình khác (nếu bài toán tìm GTNN).
Cách 2: Thay đại lượng cần tìm cực thành một đại lượng khác tương đương (nếu được) rồi từ đó tìm kiến thức tìm GTLN, GTNN của A. (A là một đại lượng nào đó như góc, đoạn thẳng, ....)
a) - Ta chứng minh được A ( m (m không đổi)
- Có một hình sao cho A = m thì GTNN của A là m
b) Ta chứng minh được A ( t (t không đổi)
- Có một hình sao cho A = t thì GTLN của A là t
- Từ đó ta xác định được vị trí của các điểm để đạt được cực trị.
Chú ý : Thường trình bày cực trị theo 2 cách:
Phân loại bài tập và ví dụ minh hoạ :
Tìm cực trị dùng bất đẳng thức trong tam giác
Kiến thức cơ sở:
Với 3 điểm A,B ,C bất kỳ ta có :
≤ AB ≤ AC + BC
Dấu “ = “ xảy ra ( C


- Trong tam giác ABC Có ( BAC > ( ABC ( BC < AC
+ Quy tắc n điểm A1A2, ..., An
Ta có A1An ( A1A2 + A2A3 + ... An-1An
Dấu "=" xảy ra (A1A2, ..., An thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó.
12. Các ví dụ áp dụng :
Ví dụ 1 : Cho đường tròn (0; R) , A và B là hai điểm cố định nằm ngoài đường tròn . M là điểm cố định trên đường tròn (0) .
Xác định vị trí của điểm M để diện tích tam giác MAB có giá trị :
a) Lớn nhất b) nhỏ nhất
Giải
Vẽ đường thẳng d qua 0 và ( AB tại K
d cắt đường tròn ( 0 ) tại C và D
Hạ AH ( AB
( SMAB =

a) Ta có MH ≤ MK
Xét 3 điểm M,O ,K ta có
MK ≤ OM + OK
( MK ≤ OC + OK ( MH ≤ CK
( SMAB ≤
( không đổi )
Dấu “ = “ xảy ra ( H
K
( M
C
b) Xét 3 điểm M,O ,H ta có MH ≥

Mà OK ≤ OH và OK - OM = OK - OD = DK ( MH ≥ DK
( SMAB ≥
( không đổi ) Dấu “ = “ xảy ra ( M


Và M
K ( M
D
Ví dụ 2: Cho đường tròn (O;R); A là điểm cố định trong đường tròn
(A ( O). Xác định vị trí của điểm B trên đường tròn O sao cho góc OBA lớn nhất.
Giải:
Giả sử có B (