Cực trị ( toan 12 cũ - Nguyễn Hồng Vân - THĐ HP)

Nhiệt liệt chào mừng
các thầy cô giáo đến dự giờ thăm lớp
Quan sát và nhận xét vị trí điểm Đ và điểm T của các đồ thị sau?

*) Đ cao hơn so với các điểm lân cận của đồ thị.
*)T thấp hơn so với các điểm lân cận của đồ thị.

Tiết: Cực đại và cực tiểu
Thiết kế và thực hiện : Nguyễn Thị Vân
Giáo viên trường THPT Trần Hưng Đạo
Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng
I.Định nghĩa: (sgk)
Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm x0 ?(a;b).
a)Khoảng ( x0 - ? ;x0+? ) kí hiệu là V(? ), trong đó ? > 0 được gọi là
một lân cận của điểm x0.
b) Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu
Với mọi x thuộc V(? ) ? (a;b) của điểm x0, ta có
f(x) < f(x0) (x? x0)
c) Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu
Với mọi x thuộc V(? ) ? (a;b) của điểm x0, ta có
f(x) > f(x0) (x? x0)
? Đ (x0;f(x0;f(x0)) thỏa b) gọi là gì?
Khi đó x0 gọi là gì?
f(x0) gọi là gì?
?T (x0;f(x0;f(x0)) thỏa c) gọi là gì?
Khi đó x0 gọi là gì?
f(x0) gọi là gì?
1Định nghĩa: (sgk)
? Đ (x0;f(x0;f(x0)) thỏa b) gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số y = f(x)
Khi đó x0 gọi là điểm cực đại của hàm số y = f(x)
f(x0) gọi là giá trị cực đại của hàm số tại x0
?T (x0;f(x0;f(x0)) thỏa c) gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = f(x)
Khi đó x0 gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x)
f(x0) gọi là giá trị cực tiểu của hàm số tại x0
? Cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị.
Những hàm số nào có cực trị?
II.Điều kiện cần để hàm số có cực trị.
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và x0?(a;b)
Định lý Fecma (Fermat):
Nếu hàm số y = f(x) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
? Tồn tại f`(x0)
? Đạt cực trị tại x0
Thì f `(x0) = 0
CM(sgk)
Nhận xét các tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các điểm cực trị?Giải thích?
=> ý nghĩa hình học của định lý Fermat:
Tiếp tuyến tại các điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng phương với Ox
Gọi tên điểm x0 của hàm số?
Hệ quả: mọi điểm cực trị của hàm số y = f(x)
đều là điểm tới hạn của hàm số đó.
Nhận xét sau đây đúng hay sai?
Muốn tìm điểm cực trị của hàm số ta phải thưc hiện :

Bước 1:Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tìm điểm tới hạn của hàm số
Bước 3:Kết luận các điểm tới hạn của hàm số là
các điểm cực trị của hàm số
Nhận xét trên là sai!
x0 là điểm tới hạn nhưng M không là điểm cực trị đồ thị hàm số
x0
f(x0)

Ghi nhớ:
Điểm cực trị phải là điểm tới hạn.
Điểm tới hạn chưa chắc đã là điểm cực trị

III.Điều kiện đủ (dấu hiệu) để hàm số có cực trị.
1)Định lý 1:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x0
( có thể trừ tại x0)
a) Nếu f`(x) > 0 trên khoảng ( x0 - ? ; x0)
f`(x) < 0 trên khoảng ( x0 ; x0+? )
Thì x0 là điểm cực đại của hàm số f(x)
+
-
Cực
đại
b) Nếu f`(x) < 0 trên khoảng ( x0 - ? ; x0)
f`(x) > 0 trên khoảng ( x0 ; x0+? )
Thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x)
-
+
Cực
tiểu
III.Điều kiện đủ (dấu hiệu) để hàm số có cực trị.
1)Định lý 1:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x0
( có thể trừ tại x0)
+
-
Cực
đại
-
+
Cực
tiểu
Ghi nhớ
1)Tìm f `(x).
2)Tìm các điểm tới hạn.
3)Xét dấu đạo hàm.
4)Từ bảng dấu y` => các điểm cực trị.
1)Tìm f `(x).
2)Tìm các điểm tới hạn.
3)Xét dấu đạo hàm.
4)Từ bảng dấu y` =>
các điểm cực trị.
1Tìm :
Chiều biến thiên và cực trị của hàm số
y = 3x +
3
x
+ 5
Bài giải :
*)Tập xác định: D = R {0}
*) y` = 3 -
3
x2
y` = 0 ? x = -1 ,x =1
-?
+?
0
-1
1
0
0
+
-
-
+
Kết luận:
Hàm số đ/ biến trên các khoảng
(-?;0) , (0;+?)
Hàm số n/ biến trên các khoảng
(-1;0) , (0;1)
xCĐ= -1 => yCĐ = -1
xCĐ= -1 => yCĐ = -1
1)Tìm f `(x).
2)Tìm các điểm tới hạn.
3)Xét dấu đạo hàm.
4)Từ bảng dấu y` =>
các điểm cực trị.
2Tìm :
Chiều biến thiên và cực trị của hàm số
y = x3 - 3x2 +3x - 1
Bài giải :
*)Tập xác định: D = R
*) y` = 3x2 - 6x +3
y` = 0 ? x = 1 (nghiệm kép)
1
0
+
+
=>Hàm số luôn đồng biến trên R
=>Hàm sô không có cực trị
1)Tìm f `(x).
2)Tìm các điểm tới hạn.
3)Xét dấu đạo hàm.
4)Từ bảng dấu y` =>
các điểm cực trị.
3Tìm :
Chiều biến thiên và cực trị của hàm số
y = x3 - 3x2 - 9x + 7
Bài giải :
*)Tập xác định: D = R
*) y` = 3x2 - 6x - 9
y` = 0 ? x = -1, x=3
-?
+?
-1
3
0
0
+
-
+
12
20
Kết luận:
Hàm số đ/ biến trên các khoảng
(-?;-1) , (3;+?)
Hàm số n/ biến trên các khoảng
(-1;3)
xCĐ= -1 => yCĐ = 12
xCĐ= 3 => yCĐ = 20
1)Tìm f `(x).
2)Tìm các điểm tới hạn.
3)Xét dấu đạo hàm.
4)Từ bảng dấu y` =>
các điểm cực trị.
4Tìm :
Chiều biến thiên và cực trị của hàm số
y =
x4
4
- 2x2 +6
Bài giải :
*)Tập xác định: D = R
y`= x3 - 4x
y` = 0 ? x = -2 ,x = 0 , x =2
-?
+?
0
-2
2
0
0
0
+
-
+
-
2
2
6
Kết luận:
Hàm số đ/ biến trên các khoảng
(-1;0) , (1;+?)
Hàm số n/ biến trên các khoảng
(-? ;-1) ,(0;1)
xCT= ?2 => yCT= 2
xCĐ= 0 => yCĐ = 6
III.Điều kiện đủ (dấu hiệu) để hàm số có cực trị.
1)Định lý 1:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x0
( có thể trừ tại x0)
a) Nếu f`(x) > 0 trên khoảng ( x0 - ? ; x0)
f`(x) < 0 trên khoảng ( x0 ; x0+? )
Thì x0 là điểm cực đại của hàm số f(x)
+
-
Cực
đại
b) Nếu f`(x) < 0 trên khoảng ( x0 - ? ; x0)
f`(x) > 0 trên khoảng ( x0 ; x0+? )
Thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x)
-
+
Cực
tiểu
2) Dấu hiệu 2:
Định lý 2:
*Giả sử hàm số y= f(x) có Đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại điểm x0
=> Thì x0 là một điểm cực trị của hàm số f(x)
*) Nếu Đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại điểm x0
f`(x0) = 0
f "(x0) < 0
=> Thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x)
*) Nếu Đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại điểm x0
f`(x0) = 0
f "(x0) > 0
=> Thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)
*Giả sử hàm số y= f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại điểm x0
?)Nếu
f`(x0) = 0
f "(x0) ? 0
Thì x0 là một điểm
cực trị của hàm số f(x)
?)Nếu
f`(x0) = 0
f "(x0) < 0
Thì x0 là một điểm
cực đại của hàm số f(x)
?)Nếu
f`(x0) = 0
f "(x0) > 0
Thì x0 là một điểm
cực tiểu của hàm số f(x)
1)Cho hàm số y = x4 -2 (1- m ) x2 + m2 -3.
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = 1
Bài giải:
*) Tập xác định:D = R
*) y` = 4x3 - 4 (1 - m ) x
*) y" = 12x2 - 4 (1 - m )
Hệ
y`(1) = 0
y"(1) ? 0
?
4m = 0
8+4m ? 0
?
m =0
*Giả sử hàm số y= f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại điểm x0
?)Nếu
f`(x0) = 0
f "(x0) ? 0
Thì x0 là một điểm
cực trị của hàm số f(x)
?)Nếu
f`(x0) = 0
f "(x0) < 0
Thì x0 là một điểm
cực đại của hàm số f(x)
?)Nếu
f`(x0) = 0
f "(x0) > 0
Thì x0 là một điểm
cực tiểu của hàm số f(x)
2)Cho hàm số y =.
1
3
x3 + (m2 - m + 2) x2 + (3m2 +1)x +m - 5
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = - 2
Bài giải:
*) Tập xác định:D = R
*) y` = x2 - 2 (m2 - m +2) x+(3m2 +1)
*) y" = 2x - 2 (m2 - m +2)
Hệ
y`(1) = 0
y"(1) > 0
?
m = 3
*Giả sử hàm số y= f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại điểm x0
?)Nếu
f`(x0) = 0
f "(x0) ? 0
Thì x0 là một điểm
cực trị của hàm số f(x)
?)Nếu
f`(x0) = 0
f "(x0) < 0
Thì x0 là một điểm
cực đại của hàm số f(x)
?)Nếu
f`(x0) = 0
f "(x0) > 0
Thì x0 là một điểm
cực tiểu của hàm số f(x)
2)Cho hàm số y =
x3 + 3m x2 + (1 - m) x +m - 5
Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 0
Bài giải:
*) Tập xác định:D = R
*) y` =3 x2 -6m x+ 1 - m
*) y" = 6x - 6m
Hệ
y`(0) = 0
y"(0) < 0
?
? M để hàm sô nhận x = 0 làm điểm cực đại
Bài 1:Cho hàm số y =
1
3
x3 + mx2 + +(m+6) x - (2m +1)
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Baig giải:
Tập xác định: D = R
*) y` = x2 +2mx +m+6
Phương trình y` = 0 ?
x2 +2mx +m+6 = 0 thực sự là pt bậc hai
Hàm số có cực đại và cực tiểu ? pt y` = 0 có 2 nghiệm phân biệt

? ?` > 0 ? m2 - m - 6 > 0 ?
m ? ( -? ; -2)? ( 3 ; +?)
Bài tập tổng hợp
Bài 2: Cho hàm số y = x4 + 4mx3 +3 (m+1) x2 +1
Tìm m để hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại
Bài giải:
Tập xác định:D = R
=> y` = 4x3 +12mx2 +6 (m+1) x
=> pt y` = 0 ? 4x3 +12mx2 +6 (m+1) x= 0
? 2x[2x2 + 6mx + 3 (m+1) ]= 0
2x = 0
[2x2 + 6mx + 3 (m+1) ] = 0
Đặt g(x) =[2x2 + 6mx + 3 (m+1) ] = 0,
?` = 3( 3m2 - 2m - 2 )
Dấu ?
m
?
-?
+?
+
-
+
g(0) ? 0 ? m ? -1
Với: m ? (- ?;
) ? (
;+? ) {-1}
Hàm số có
ba điểm cực trị => không thoả mãn đề bài
m ?
Có cực trị hay không?Có bao nhiêu?
thỏa đề