Cực trị hình học

Phaàn 1:
Vaän duïng quan heä ñöôøng xieân – ñöôøng vuoâng goùc ;
ñöôøng xieân – hình chieáu
vaø qui taéc caùc ñieåm (baát ñaúng thöùc tam giaùc)
----------o0o----------
Bài 1 (8): Cho tam giác ABC nhọn ,đường cao AH. Điểm M di động trên cạnh BC.
Chứng minh :

Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài ngắn nhất.
Bài 1 (8): Cho tam giác ABC nhọn (AB>AC),đường cao AH. Điểm M di động trên cạnh BC.
Chứng minh:
.
Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài lớn nhất.
Bài 1 (8): Cho tam giác ABC nhọn (ABTìm vị trí của điểm M để AM có độ dài nhỏ nhất.
Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài lớn nhất.
Bài 2 (8): Cho tam giác ABC có
và đường cao AH. Điểm M di động trên cạnh BC, kẻ
tại E và
tại F.
Chứng minh:
vuông tại A và tính AH.
Chứng minh: tứ giác AEMF là hình chữ nhật và
.
Chứng minh:
.
Tìm vị trí của điểm M để EF có độ dài nhỏ nhất.
Bài 3 (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Điểm M di động trên nửa đường tròn, kẻ MH vuông góc với AB tại H.
Chứng minh:

Tìm vị trí của điểm M để MH có độ dài lớn nhất.
Tìm vị trí của điểm M để
đạt giá trị lớn nhất.
Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại B và C. Gọi I là trung điểm BC.
Chứng minh:
và

b) Tìm vị trí của đường thẳng d để AB+AC đạt giá trị lớn nhất.
Bài 4 (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm M di động trên nửa đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn và tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với (O) tại M cắt Ax tại D, cắt By tại E.
Chứng minh:
và
.
Chứng minh: tam giác DOE vuông tại O và
.
Tìm vị trí của điểm M để
đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm vị trí của điểm M để
đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm vị trí của điểm M để
đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm vị trí của điểm M để
đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5 (8): Cho tam giác ABC nhọn (
) và đường cao AH. Điểm M di động trên cạnh BC. Kẻ BI và CK lần lượt vuông góc với đường thẳng AM tại I và K.
Chứng minh:

Tìm vị trí của điểm M để
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 6 (8): Cho tam giác ABC nhọn (
) và đường cao AH. Điểm M di động trên cạnh BC.
Chứng minh:

Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài nhỏ nhất.
Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài lớn nhất.
Bài 7 (8): Cho tam giác ABC nhọn (
) có đường cao AH và BL. Điểm M di động trên cạnh BC. Kẻ BI và CK lần lượt vuông góc với đường thẳng AM tại I và K.
Chứng minh:

Chứng minh:

Chứng minh:

Tìm vị trí của điểm M để
đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm vị trí của điểm M để
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 8 (8): Cho tam giác ABC nhọn (
) có đường cao AH và CK. Điểm M di động trên cạnh BC. Kẻ BD và CE lần lượt vuông góc với đường thẳng AM tại D và E.
Chứng minh:

Chứng minh:

Chứng minh:

Tìm vị trí của điểm M để
đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm vị trí của điểm M để
đạt giá trị lớn nhất.
Bài (8): Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Đường thẳng d quay quanh điểm A nhưng không cắt các cạnh của hình bình hành. Kẻ
lần lượt vuông góc với đường thẳng d tại

Chứng minh:

Tìm vị trí của đường thẳng d để
đạt giá trị lớn nhất.
Bài (8): Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo AC và BD và một điểm I cố định nằm ngoài hình bình hành. Đường thẳng d quay quanh điểm I nhưng không cắt các cạnh của hình bình hành. Kẻ
lần lượt vuông góc với đường thẳng d tại

Chứng minh:

Tìm vị trí của đường thẳng d để
đạt giá trị lớn nhất.
Bài (8): Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB=2R. Điểm M di động trên nửa đường tròn, qua M vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn. Gọi C và D lần lượt là hình chiếu của A và B trên tiếp tuyến ấy.
Chứng minh:

Chứng minh:

Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ACDB đạt giá trị lớn nhất.
Bài (8): Cho đường tròn (O) và dây cung AB không qua tâm O. Điểm M di động trên cung lớn AB, qua M vẽ tiếp tuyến với đường tròn. Gọi C và D lần lượt là hình chiếu của A và B trên tiếp tuyến ấy.
Chứng minh:
.
Tìm vị trí của điểm M để CD có độ dài lớn nhất.
Tìm vị trí của điểm M để CD có độ dài nhỏ nhất.
Bài (8): Cho đường tròn (O) và dây cung AB không qua tâm O. Điểm M di động trên cung lớn AB, qua M vẽ tiếp tuyến với đường tròn. Gọi I là trung điểm của AB.Kẻ AC,BD,IE lần lượt vuông góc với tiếp tuyến ấy tại C,D,I.
Chứng minh:
.
Chứng minh:

Tìm vị trí của điểm M để
đạt giá trị lớn nhất.
Tìm vị trí của điểm M để
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại B và C. Gọi I là trung điểm BC.
Chứng minh:
và

Tìm vị trí của đường thẳng d để AB+AC đạt giá trị lớn nhất.

----------Qui taéc caùc ñieåm----------

Bài (8): Cho A và B là hai điểm cố định nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau có bờ là đường thẳng d cố định. Điểm M di động trên đường thẳng d.
Chứng minh:

Tìm vị trí của điểm M để
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài (8): Cho A và B là hai điểm cố định cùng nằm ở một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d cố định. Điểm M di động trên đường thẳng d.Gọi C là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng d.
Chứng minh:
.
Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài (8): Cho điểm A cố định nằm trong góc xOy cố định. Gọi B và C lần lượt là các điểm đối xứng của A qua các tia Ox và Oy. Điểm M di động trên Ox, điểm N di động trên Oy.Kí hiệu:
là chu vi tam giác AMN.
Chứng minh:
.
Chứng minh:

Tìm vị trí của điểm M và điểm N để chu vi tam giác AMN đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài (9): Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, C là điểm cố định nằm giữa A và O. Điểm M di động trên đường tròn (O).
Chứng minh:

Tìm vị trí của điểm M để CM có độ dài lớn nhất.
Tìm vị trí của điểm M để CM có độ dài nhỏ nhất.
Bài (9): Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) ngoài nhau. Gọi P,Q,R,S lần lượt là giao điểm của đường thẳng OO’ với (O) và (O’) (theo thứ tự P,O,Q,R,O’,S). Điểm A di động trên (O), điểm B di động trên (O’).
Chứng minh:

Chứng minh:

Tìm vị trí của điểm A và điểm B để AB có độ dài lớn nhất.
Tìm vị trí của điểm A và điểm B để AB có độ dài nhỏ nhất.
Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB không qua tâm. Điểm M di động trên cung lớn AB, kẻ MH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của đoạn AB.
Chứng minh:

Tìm vị trí của điểm M để MH có độ dài lớn nhất.
Tìm vị trí của điểm M để
đạt giá trị lớn nhất.
Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB không qua tâm. Điểm M di động trên cung nhỏ AB, kẻ MH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của đoạn AB và K là giao điểm của OM và AB.
Chứng minh:

Tìm vị trí của điểm M để MH có độ dài lớn nhất.
Tìm vị trí của điểm M để diện tích tam giác AMB đạt giá trị lớn nhất.

Bài (8): Cho hình vuông ABCD . M,N,P,Q là bốn đỉnh của tứ giác MNPQ lần lượt là các điểm di động trên các cạnh AB,BC,CD,DA. Gọi H,I,K lần lượt là trung điểm của các đoạn QM,MP,PN.
Chứng minh:

Chứng minh:

Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ nhất.
Bài (8): Cho hình vuông ABCD cạnh a. M,N,P,Q là bốn đỉnh của tứ giác MNPQ lần lượt là các điểm di động trên các cạnh AB,BC,CD,DA.
Chứng minh:

Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ nhất.
Bài (8): Cho hình chữ nhật ABCD. D,E,G,H là bốn đỉnh của tứ giác DEGH lần lượt di động trên các cạnh AB,BC,CD,DA.
Chứng minh:

Tìm điều kiện của tứ giác DEGH để tứ giác DEGH có chu vi nhỏ nhất.
Bài (8): Cho tam giác ABC có
và một điểm M nằm trong tam giác.Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ là đường thẳng AM dựng tam giác đều AMD và trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ là đường thẳng AC dựng tam giác đều ACE.
Chứng minh:

Chứng minh:

Tìm vị trí của điểm M để
đạt giá trị nhỏ nhất.



----------o0o---------
Vaän duïng baát ñaúng thöùc trong ñöôøng troøn.
***
Bài (9): Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M di động trên đường tròn. Tìm vị trí của điểm M để độ dài AM đạt giá trị lớn nhất.
Bài (9): Cho đường tròn tâm O đường kính AB và dây cung CD vuông góc với AB. Tìm điều kiện của dây cung CD để diện tích tứ giác ACBD đạt giá trị lớn nhất.
Bài (9): Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định. CD là dây cung di động nhưng luôn vuông góc với AB. Tìm điều kiện của dây cung CD để diện tích tứ giác ACBD đạt giá trị lớn nhất.
Bài (9): Cho đường tròn tâm O và dây cung AC cố định. Điểm B di động trên cung lớn AB, điểm D di động trên cung nhỏ AB . Tìm vị trí các điểm B và D để diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất.

Bài (9): Cho đường tròn tâm (O;R) và hai dây cung AC và BD vuông góc với nhau. Tìm điều kiện của hai dây cung AB và CD để diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất.
Bài (9): Cho đường tròn tâm (O;R) và tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất.
Bài (9): Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Điểm M di động trên cung nhỏ BC. Trên đoạn AM lấy điểm D sao cho

Chứng minh:
là tam giác đều và

Tìm vị trí của điểm M để
đạt giá trị lớn nhất.
Bài (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm C di động trên nửa đường tròn. Gọi D là điểm trên tia đối tia CA sao cho

Tính
và chứng minh: điểm D di động trên một cung tròn cố định.
Tìm vị trí của điểm C trên nửa đường tròn để AD đạt giá trị lớn nhất.
Tìm vị trí của điểm C trên nửa đường tròn để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất.
Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung
cố định. Điểm C di động trên cung lớn AB. Gọi D là điểm trên tia đối tia CA sao cho

Tính
và

Chứng minh: điểm D di động trên một cung tròn cố định.
Tìm vị trí của điểm C trên cung lớn AB để AD đạt giá trị lớn nhất.
Tìm vị trí của điểm C trên cung lớn AB để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất.
Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung
cố định. Điểm C di động trên cung nhỏ AB. Gọi D là điểm trên tia đối tia CA sao cho

Tính
và

Chứng minh: điểm D di động trên một cung tròn cố định.
Tìm vị trí của điểm C trên cung nhỏ AB để AD đạt giá trị lớn nhất.
Tìm vị trí của điểm C trên cung nhỏ AB để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất.
Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB cố định. Gọi C là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Điểm M di động trên cung lớn AB.
Chứng minh:
(đẳng thức Ptolémée).
T