Cực đại và cực tiểu

Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm x0 ? (a;b).
a) V(?) = (x0 - ? ; x0+ ?), trong đó ? > 0 được gọi là một lân cận
của điểm x0.
b) Ñieåm x0 ñöôïc goïi laø ñieåm cöïc ñaïi cuûa haøm soá y = f(x) neáu
vôùi moïi x thuoäc moät laân caän V()  (a;b) cuûa ñieåm x0, ta coù
f(x) < f(x0) (x x0).
Kí hiệu fCĐ = f(x0).
Điểm M(x0;f(x0)) gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
c) Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu
với mọi x thuộc một lân cận V(?) ? (a;b) của điểm x0, ta có
f(x) > f(x0) (x? x0).
Kí hiệu fCT = f(x0).
Điểm M(x0;f(x0)) gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

1. Định nghĩa
O
x
y
M1
M2
x1
f(x1)
x2
f(x2)
a
b
Hình vẽ dưới mô tả đồ thị của hàm số với điểm cực đại M1và
điểm cực tiểu M2 .
Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.Giá trị của hàm số tại điểm cực trị gọi là cực trị của hàm số đã cho.
2. Điều kiện để hàm số cực trị
Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm x0 ? (a;b).
Định lí Fecma
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm
Đó thì f`(x0) = 0.
Ý nghĩa hình học của định lí Fecma
Nếu f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại đó thì tiếp tuyến
của đồ thị tại điểm M(x0 ; f(x0)) song song với trục hoành.
Hệ quả. Mọi điểm cực trị của hàm số y = f(x) đều là điểm
tới hạn của hàm số đó.
3. Điều kiện đủ (dấu hiệu) để hàm số có cực trị
Định lí 1 . Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm có đạo hàm trên
Một lân cận của điểm x0 (có thể trừ tại x0).
1). Nếu f`(x) > 0 trên khoảng (x0 - ? ;x0); f`(x) < 0 trên khoảng
(x0 ;x0+ ? ) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).
2). Nếu f`(x) < 0 trên khoảng (x0 - ? ;x0); f`(x) > 0 trên khoảng
(x0 ;x0+ ? ) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
x
f`(x)
x0 - ?
x0
x0+ ?
+
_
Cực
đại
x
f`(x)
f(x)
x0 - ?
x0
x0+ ?
+
Cực
tiểu
_
f(x)
Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x0, đạo hàm đổi dấu thì
điểm x0 là điểm cực trị.
Qui tắc I để tìm các điểm cực trị của một hàm số.
1) Tìm f`(x)
2) Tìm các điểm tới hạn
3) Xét dấu của đạo hàm
4) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị
Ví dụ : Tìm các điểm cực trị của hàm số
Giải
x
- 
+ 
0
-1
+1
y’
y
0
0
+
_
_
+
-1
11
Định lí 2. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2
Tại x0 và f`(x0) = 0, f``(x0) ? 0 thì x0 là một điểm cực trị của hàm số.
Hơn nữa,
1) Nếu f``(x0) > 0 thị x0 là điểm cực tiểu.
2) Nếu f``(x0) < 0 thị x0 là điểm cực đại.
Qui tắc II để tìm các điểm cực trị của một hàm số.
1) Tính f`(x). Giải phương trình f`(x) = 0. Gọi xi (i = 1,2.)
là các nghiệm.
2) Tính f``(x).
3) Từ dấu của f``(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
Ví dụ. Tìm các điểm cực trị của hàm số
Giải.
Hàm số xác định với mọi x? R.
1) f`(x) = x3 - 4x = x(x2 - 4) = 0 ? (x1 = 0, x2 = -2, x3 = 2 )
2) f``(x) = 3x2 - 4
3) f``(?2) = 8 > 0 ? x = ?2 là hai điểm cực tiểu.
f``(0) = -4 < 0 ? x = 0 là điểm cực đại.