Cong thuc toan lop 10, 11, 12

1. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
1.1. Tính chất 1 : a > b và b > c
a > c
1.2. Tính chất 2: a > b
a + c > b + c
Tức là: Nếu cộng 2 vế của bắt đẳng thức với cùng một số ta được bất đẳng thức cùng chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho.
Hệ quả (Quy tắc chuyển vế): a > b + c
a – c > b
1.3 Tính chất 3:

Nếu cộng các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều. Chú ý: KHÔNG có quy tắc trừ hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.
1.4 Tính chất 4:
a > b
a.c > b.c nếu c > 0
hoặc a > b
c.c < b.c nếu c < 0
1.5 Tính chất 5:


Nếu nhân các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều. Chú ý: KHÔNG có quy tắc chia hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.
1.6 Tính chất 6:
a > b > 0
an > bn (n nguyển dương)
1.7 Tính chất 7:

(n nguyên dương)

2. Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si):
Định lí: Nếu và

thì
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b
Tức là: Trung bình cộng của 2 số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng.
Hệ quả 1: Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chùng lớn nhất khi 2 số đõ bẳng nhau.
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Hệ quả 2: Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chùng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau.
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
3. Bất đẳng thức chứa giá trị trị tuyệt đối:


Từ định nghĩa suy ra: với mọi
ta có:
a. |x|
0
b. |x|2 = x2
c. x
|x| và -x
|x|
Định lí: Với mọi số thực a và b ta có:
|a + b|
|a| + |b| (1)
|a – b|
|a| + |b| (2)
|a + b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b
0
|a – b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b
0


4. Định lí Vi-et:
Nếu phương trình bậc 2: ax2 + bx +c = 0 (*) có 2 nghiệm x1 , x2 (a
0) thì tổng và tích 2 nghiệm đó là:
S = x1 + x2 =

P = x1.x2 =

Chú ý:
+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x1 = 1 và x2 =

+ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x1 = -1 và x2 =

Hệ quả: Nếu 2 số u, v có tổng S = u + v và tích P = u.v thì chúng là nghiệm của phương trình: x2 – S.x + P = 0
5. Chia đoạn thẳng theo tỉ lệ cho trước:
a. Định nghĩa: Cho 2 điểm phân biệt A, B. Ta nói điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k nếu

b. Định lí: Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k
1 thì với điểm O bất kì ta có:


6. Trọng tâm tam giác:
a. Điểm G là trọng tâm tam giác khi và chỉ khi:

b. Nếu G là trọng tâm tam giác, thì với mọi điểm O ta có:




7. Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác:
7.1. Định lí Cosin trong tam giác:
Định lí: Với mọi tam giác ABC, ta luôn có:



7.2. Định lí sin trong tam giác:
Định lí: Trong tam giác ABC, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ta có:



7.3. Công thức độ dài đường trung tuyến: