Công thức nghiệm của phương trình bậc ba

Phương trình bậc ba
α3x3 + α2x2 + α1x + α0 = 0.
Thông thường. trong toán học sơ cấp, các hệ số α0, ..., α3 là các số thực. Tuy nhiên đa số lý thuyết cũng đúng nếu các hệ số lấy trong một trường có đặc số (?) khác 3. Ta luôn giả sử rằng α3 khác không.Có thể giải được một phương trình bậc ba bằng căn thức.
Phương pháp Cardano
Nghiệm của phương trình có thể tìm được bằng phương pháp sau, đề xuất bởi Scipione del Ferro và Tartaglia, công bố bởi Gerolamo Cardano năm 1545.
Trước tiên, chia phương trình cho α3 để đưa về dạng


Đặt x = t - a/3 và biến đổi ta có phương trình
t3 + pt + q = 0, trong đó
và

Nó được gọi là phương trình bậc ba suy biến.
Ta sẽ tìm các số u và v sao cho
u3 − v3 = q và

một nghiệm của nó tìm được từ việc đặt


có thể kiểm tra trực tiếp khi thay giá trị t vào (2), nhờ hằng đảng thức lập phương của nhị thức


Hệ (3) có thể giải từ phương trình thứ hai rút v, ta có


Thay vào phương trình thứ nhất trong (3) ta có


Phương trình này tương đương với một phương trình bậc hai với u3. Khi giải, ta tìm đươc


Vì t = v − u và t = x + a/3, ta tìm được


Chú ý rằng, có sáu giá trị u tìm được từ (4), vì có hai căn bậc ba ứng với hai dấu (
), và mỗi căn bậc ba có ba giá trị (một giá trị thực và hai tích của nó với
). Tuy nhiên, dấu của các căn phải chọn sao cho khi tính x, không gặp trường hợp chia cho không. Thứ nhất, nếu p = 0, thì chọn dấu của căn bậc hai sao cho u khác 0, i.e.
. Thứ hai, nếu p = q = 0, thì ta có x = −a/3.
Phương pháp tổng hợp và lượng giác cho mọi trường hợp
Đây là phần tóm tắt kết quả bài giải phương trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = 0(a < > 0)
Đặt các giá trị:
Δ = b2 − 3ac

(Δ < > 0)
1) Nếu Δ > 0
1.1) |k| ≤ 1: Phương trình có ba nghiệm






1.2) |k| > 1: Phương trình có một nghiệm duy nhất


2) Nếu Δ = 0 : Phương trình có một nghiệm bội


3) Nếu Δ < 0: Phương trình có một nghiệm duy nhất