Co luong tu thay Dau

PhD. D.H.Đẩu
1
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ NÂNG CAO
Chương một: CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN NÂNG CAO CHO CƠ LƯỢNG TỬ
Chương hai: PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO CÁC NGUYÊN TỬ ĐƠN GiẢN
Chương ba : NHIỄU LOẠN DỪNG – Suy Biến
Chương bốn: CÁC ỨNG DỤNG CỦA NHIỄU L0ẠN


PhD. D.H.Đẩu
2
Chương một: CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN NÂNG CAO CHO CƠ LƯỢNG TỬ


1. Ôn tập Đại số tuyến tính
2. Biến đổi tuyến tính và Matrix biến đổi
Giải thích khái quát về tính thống kê
Nguyên lý bất định

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ NÂNG CAO
PhD. D.H.Đẩu
3
Lecturer:
Dr: Dương Hiếu Đẩu
Head of Physics Dept
[email protected]
Tel: 84.71. 832061
01277 270 899
Giới thiệu môn học
EP
PhD. D.H.Đẩu
4
Trọng tâm chương 1
Chương này trình bày các kiến thức toán nâng cao về đại số:
Như vector – tích trong – phép biến đổi
Vector, Ma trận…

Để tiếp cận với các phép tính phức tạp
ở các chương sau vì thế cần Lưu ý:

1- Thống nhất các ký hiệu
2- Phương pháp tính toán cụ thể.
PhD. D.H.Đẩu
5
1. Ôn tập: Đại số tuyến tính
1.1 Không gian vector: là một tập hợp các vector được ký hiệu là:

kèm theo một bộ (cùng số phần tử với số vector) các giá trị vô hướng (thường là các số phức) :

Thỏa hai phép toán cộng vector và nhân vô hướng vector
Phép cộng:
Tính giao hoán
PhD. D.H.Đẩu
6
Tính kết hợp
Phép cộng có tính kết hợp:

Tồn tại một vector không (Null vector) thỏa hệ thức:

Mỗi vector khác không tồn tại một vector ngược :

Tính khử nhau:
PhD. D.H.Đẩu
7
Vector liên hiệp phức
Là lấy liên hợp phức của các thành phần tạo nên vector:
PhD. D.H.Đẩu
8
Phép nhân vector
Phép nhân vector với vô hướng cho ra vector:

Phép nhân của tổng vector có tính phân phối:

Phép nhân tổng hai số với 1 vector có tính phân phối:

Tính kết hợp:
PhD. D.H.Đẩu
9
Bài tập
Cho vector:
PhD. D.H.Đẩu
10
Tổ hợp tuyến tính
Tổ hợp tuyến tính: của một tập hợp Z các vector :

được ký hiệu là:
số chiều không gian là số vector trong tập Z
Một vector gọi là độc lập tuyến tính với hệ Z khi chúng không thể biểu diễn là một tổ hợp tuyến tính của Z:
Hệ Vector cơ sở của một không gian K:
là một bộ Z của các vector, sao cho bất kỳ vector đều được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các vector trong bộ Z. EX: trong hệ 3D Descartes ta có:
PhD. D.H.Đẩu
11
Bài tập 1 W
Vector đơn vị theo phương z trong hệ tọa độ Descartes 3D có độc lập tuyến tính trong không gian oxy hay không?
Giải thích?
Không gian của tổng 2 vector (một biểu diễn trong hệ KD và một biễu diễn trong hệ 3D) sẽ có số chiều là bao nhiêu? Giải thích?
Không gian ảo
Độc lập tuyến tính
K chiều (KD)
PhD. D.H.Đẩu
12
Bài tập 2 W
Cho các vector:
PhD. D.H.Đẩu
13
Chiều của không gian
Chiều của không gian là số vector cấu thành, với hệ nD

Vector khác không viết trong hệ nD – là ma trận một hàng và n cột:

Cộng hai vector khác không trong hệ nD là cộng 2 ma trận
Và vector
không:
PhD. D.H.Đẩu
14
Bài tập 3 w
Xét một vector 3 chiều
Các thành phần an là phức
a) Các vector có thành phần
az=0 có tập hợp thành không
gian vector không? Nếu có thì
chiều của nó là bao nhiêu ?
b) Các vector có các thành phần
an bằng nhau có tập hợp thành
Không gian vector không?
Cho Ví dụ
Có – 1 D
PhD. D.H.Đẩu
15
Bài tập 4 W
Xét tập hợp các đa thức bậc n (n< N) của x có các hệ số phức.
a) Các đa thức đó có tạo nên một không gian vector không? Vector cơ sở được cấu thành như thế nào cho thuận tiện? Số chiều của không gian này là bao nhiêu?
b) Điều kiện để đa thức là hàm chẳn và là hàm lẻ ?
c) Điều kiện để hệ số trước xn có giá trị bằng 1.0
d) Điều kiện để đa thức bằng 1 khi x=0 và bằng 0 khi x=1.
PhD. D.H.Đẩu
16
Hương dẫn
Đa thức bậc n: a0 + a1X + a2X2 +…+ anXn
Không gian :….? Chiều
Vector cơ sở chọn:
Hàm chẳn : F(x) =F(-x)
Hàm Lẻ: F(x) = -F(x)
PhD. D.H.Đẩu
17
Bài tập 5W
Cho biết
PhD. D.H.Đẩu
18
Ôn Đại số - Tích trong 2 vector
Trong KG 3 chiều, có 2 loại tích vector là tích vô hướng và
tích có hướng. Tổng quát tích trong 2 vector trong nD:
Tích trong của 2 vector là xác định
mặc dù không gian của 2 vector có thể
là không cùng số chiều
Lưu ý: tích trong của 2 vector giống nhau là một số dương nên căn bậc 2 của nó (gọi là Norm-modune) là số thực
PhD. D.H.Đẩu
19
Tích trong 2 vector
Trực giao: Hai vector là trực giao khi tích trong của nó =0
Trực chuẩn: là một bộ các vector đều trực giao nhau và mỗi
Vector có Modune =1
Nếu chọn một cơ sở vector trực chuẩn e và khai triển vector theo các thành phần e, thì tích trong 2 vector là:
Và Bình phương modune là:
PhD. D.H.Đẩu
20
Bài tập 7 w
Viết tường minh tích trong của 2 vector từ đó chứng minh bất đẳng thức Schwarz
Hint
PhD. D.H.Đẩu
21
Bài tập 6: Tích trong 2 vector
a) Tính:
b) Tính: Modun của 2 vector trên
PhD. D.H.Đẩu
22
Bài tập 8 - W
Cho hai vector
a) Tìm các giá trị m, n để hai vector trên là trực giao ?
b) Với các giá trị m, n bằng bao nhiêu thì tích trong của hai vector đó là bằng 1.0
PhD. D.H.Đẩu
23
Góc giữa 2 vector
Các hệ số a1 …an của một vector được tính lại là:
Góc hợp bởi 2 vector được tính bởi: Hệ thức Schwarz:
PhD. D.H.Đẩu
24
Bài tập 9 w: Góc giữa 2 vector
Dùng hệ thức Schwarz: xác định góc của 2 vector
b) Chứng minh bất đẳng thức của tam giác
PhD. D.H.Đẩu
25
2. Phép biến đổi tuyến tính
Biến đổi : Là thay đổi một vector thành một vector khác trong cùng một không gian vector . Sự thay đổi do tác nhân của một toán tử T được viết:
Ví dụ:
PhD. D.H.Đẩu
26
Bài tập 10
Hãy cho biết các dạng toán tử sau đây có tạo ra phép biến đổi tuyến tính cho vector không?
1-Nhân vector (3D) với một số phức khác không
2-Quay một vector (3D) quanh trục ox hoặc oy.
PhD. D.H.Đẩu
27
2. Phép biến đổi tuyến tính
Vì khi T tác dụng lên một vector nó cho ra một vector mới, nên khi T tác dụng lên các vector cơ sở  Nó cũng tạo các vector mới theo hệ thức:
Ví dụ :
Khi khai triển một vector bất kỳ
trong cơ sở e
PhD. D.H.Đẩu
28
2. Matrix của toán tử tuyến tính
Theo công thức 1.14 ta thấy sau biến đổi T, vector mới được xem là tổ hợp của các cơ sở e với các hệ số là:
Matrix của T được định nghĩa là:
Vecto mới là:
PhD. D.H.Đẩu
29
Bài tập 11 W Tính Matrix chuyển vị
Đối với phép quay  quanh trục OX - 3D


Phép quay  quanh đường y = x 3D
PhD. D.H.Đẩu
30
Hướng dẫn
Khai triển công thức A1 , A2 A3 theo ma trận chuyển vị 1.15 sau đó viết lại vector mới tạo ra.
PhD. D.H.Đẩu
31
Các tính chất của biến đổi tuyến tính
Cộng hay trừ
Matrix liên hợp phức của T được định nghĩa là:
Matrix là thực khi các thành phần của nó đều là thực
Matrix là ảo khi các thành phần của nó đều là ảo
PhD. D.H.Đẩu
32
MATRIX TỰ LIÊN HỢP PHỨC (TLHP)
Matrix HERMITiAN
Định nghĩa TLHP: là matrix chuyển vị và sau đó lấy liên hợp phức của Matrix T:
Dr. Hermitte
Matrix HERMITIAN VÀ SKEW HERMITIAN
PhD. D.H.Đẩu
33
Thí dụ
Xét matrix:
PhD. D.H.Đẩu
34
Bài tập 12 w: Chứng minh hệ thức
Xem tích trong của 2 vector:
Chứng minh rằng:
PhD. D.H.Đẩu
35
Bài tập 13 w
Cho biến đổi T


1- Chứng minh rằng T là Hermitian
2- Phải thay đổi T như thế nào để nó là Skew - Hermitian
PhD. D.H.Đẩu
36
Ôn tập matrix nghịch đảo
Tính A-1 dựa vào:
với Aij ma trận bỏ hàng j cột i
Tính : detA =3
PhD. D.H.Đẩu
37
Nói chung tích matrix là không
giao hoán nên MXa.MXb # MXb.MXa

TÍNH CHẤT GIAO HOÁN TỬ
2. Giao hoán tử của 2 matrix:
[Mxa.MXb]=Mxa.MXb – MXb.Mxa
3. Tích chuyển vị của tích 2 Matrix bằng
Tích ngược của 2 Matrix chuyển vị:
PhD. D.H.Đẩu
38
Bài tập 14 w : Phép tính Matrix
PhD. D.H.Đẩu
39
Matrix nghịch đảo:(MXa)-1 chỉ tồn tại khi định thức của matrix a là khác không.
Tính chất Matrix nghịch đảo:
Matrix đơn vị
là một bất biến với mọi vector
PhD. D.H.Đẩu
40
Bài tập 15 tự giải
1- Chứng minh các hệ thức matrix 1.25


2- Chứng minh các hệ thức matrix 1.26
PhD. D.H.Đẩu
41
Track (a) = Tr(MXa)
Định nghĩa Tr(MXa): là tổng các thành phần
trên đường chéo của matrix a
PhD. D.H.Đẩu
42
Bài tập 16 : Chứng minh hệ thức Tr(x)
PhD. D.H.Đẩu
43
Bài tập 17 W
Cho vector 3D có 3 vector đơn vị là


Hãy xác định các thành phần Matrix biểu diễn phép quay 45 độ cùng chiều Kim đồng hồ tại góc 0 quanh trục oz
Xét một phép biển đối từ x  x + x0, y  y+y0 ,
z= z + z0. Đây có phải phép biến đổi tuyến tính ?
Nếu không thì giải thích, nếu có tính matrix biểu diễn
PhD. D.H.Đẩu
44
Ví dụ: Phép quay vector quanh một trục trùng với chính nó
Dùng định nghĩa ta thấy:
Lúc đó  là các vector riêng ứng với trị riêng là 1 của phép biến đổi T (lưu ý ta có vô số vector riêng khác vector không thỏa mãn PT 1.29)
CÁC VECTOR RIÊNG VÀ CÁC TRỊ RIÊNG
1. Định nghĩa:
PhD. D.H.Đẩu
45
Phương trình dạng Matrix;
Chuyển vế ta có phương trình Matrix:
CÁC VECTOR RIÊNG VÀ CÁC TRỊ RIÊNG
PhD. D.H.Đẩu
46
Phương trình Đinh thức
Từ PT 2.22, vế phải là Matrix không  Định thức của Matrix phải bằng không nên có n nghiệm của  để phương trình bằng 0
PhD. D.H.Đẩu
47
Bài tập 18W- trị riêng và vector riêng
Tìm trị riêng và vector riêng của phép biến đổi qua matrix: