CM Tứ giác nội tiếp

Chuyên đề: tứ giác nội tiếp
I. Lý thuyết:
1. Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn. (Tứ giác ABCD nội tiếp)
Cách 1. Theo định nghĩa: CM có một điểm cách đều 4 điểm (Có O: OA = OB = OC = OD)
Cách 2. Theo tính chất: = 1800 (Hoặc Góc A bằng góc ngoài của tứ giác tại C)
Cách 3. Theo quỹ tích cung chứa góc: =
Cách 4: AB cắt CD tại I và thoả mãn: IA.IB = IC.ID
Chú ý: Cần chú ý trường hợp: hoặc = = 900
Các loại tứ giác đã học ở lớp 8, từ giác nào nội tiếp được một đường tròn ?
2. Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn:
Cách 1. CM có một điểm cách đều các điểm đã cho (Có O: OA = OB = OC = OD = …)
Cách 2. Ghép 4 điểm trong các điểm đó, chứng minh tứ giác nội tiếp. Tiếp đó ghép 4 điểm khác (trong đó có 3 điểm trước), chứng minh tứ giác nội tiếp rồi lại tiếp tục làm như trên.
Chú ý: a. Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một đường tròn.
b. Có duy nhất một đường tròn nhận một đoạn thẳng cho trước làm đường kính.
II. Bài tập:
Bài 1. Cho tứ giác ABCD có AC BD. Gọi M, N, P, Q thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng:
Tứ giác MNPQ nội tiếp được một đường tròn, xác định tâm O của đường tròn đó.
Biết AC = 19cm, BD = 98cm. Tính diện tích của đường tròn (O).
Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD, gọi M, N, P, Q là giao điểm của các đường phân giác trong của tứ giác. Chứng minh rằng 4 điểm: M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
Bài 3. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại 2 điểm A, B. Các đường thẳng AO, AO’ cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm thứ hai C, D và cắt đường tròn (O’) tại các điểm thứ hai E, F. Chứng minh rằng:
Ba điểm B, C, D thẳng hàng.
Tứ giác CDEF nội tiếp được một đường tròn.
A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE.
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH và vẽ đường tròn đường kính AH, đường tròn này cắt AB tại E, cắt AC tại F. Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp.
Bài 5. Cho hình vuông ABCD. Lấy AB làm cạnh huyền dựng tam giác vuông AEB ra phía ngoài hình vuông. Chứng minh rằng phân giác góc E chia hình vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Bài 6. Cho tam giác MNP vuông tại M (MN < MP) và nội tiếp đường tròn tâm (O, R). Gọi K là trung điểm của MP và MI là đường cao của tam giác MNP.
a. Chứng minh tứ giác MIOK nội tiếp được trong một đường tròn (O’). Xác định tâm O’ của đường tròn đó.
b. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’).
c. Đường tròn (O’) cắt MN tại E. Chứng minh 3 điểm E, O’, K thẳng hàng.
Bài 7. Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn tâm