CHUYENDE_ONTAPTN2009__TICHPHAN

PHẦN : NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN

§1. NGUYÊN HÀM:
Định nghĩa :
Hàm số
gọi là nguyên hàm của hàm số
trên
nếu
.
(Ghi nhớ : Nếu
là nguyên hàm của
trên
thì mọi hàm số có dạng
(
là hằng số) cũng là nguyên hàm của
trên
và chỉ những hàm số có dạng
mới là nguyên hàm của
trên
. Ta gọi
là họ nguyên hàm của hàm số
và ký hiệu là
.
Như vậy:


Tính chất:
a.TC1:

b.TC2 :
(
là hằng số khác 0)

b.TC3:


Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ :























































(Ghi nhớ:
Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số đơn giản đã biết hoặc có thể tìm được nguyên hàm.
4). Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số :
a. Công thức : Nếu
và
là hàm số có đạo hàm liên tục thì :


b. Các bước thực hiện :
Nguyên hàm cần tìm có dạng :

Đặt
.
Khi đó
, tiếp theo tìm nguyên hàm
của
.
Khi đó

c. Các dạng thường gặp :
Dạng 1 :
,

Đặt
,
Hoặc
nếu biểu thức
nằm trong dấu
.
Dạng 2 :
,

Đặt
,
Hoặc
nếu biểu thức
nằm trong dấu

Dạng 3 :
,

Đặt
,
Hoặc
nếu biểu thức
nằm trong dấu
.
Dạng 4 :
,

Đặt
,
Hoặc
nếu biểu thức
nằm trong dấu

Dạng 5 :
,

Đặt
,
Hoặc
nếu biểu thức
nằm trong dấu

Dạng 6 :
,

Đặt
,
Hoặc
nếu biểu thức
nằm trong dấu
.
Dạng 7 :
,

Đặt
,
Hoặc
nếu biểu thức
nằm trong dấu
.
Dang 8 :

Đặt
,
Hoặc
nếu biểu thức
nằm trong dấu

Dang 9 :

Đặt
,
Hoặc
nếu biểu thức
nằm trong dấu

5). Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần :
a. Công thức :


b. Các bước thực hiện :
Bước 1:

Bước 2: Thế vào công thức :
.
Bước 3: Suy nghĩ tìm cách tính tiếp
.
(tích phân này có thể tính bằng định nghĩa hoặc đổi biến số hoặc tích phân từng phần tùy từng bài toán cụ thể mà ta phải xem xét).

c. Các dạng thường gặp :
Tích phân từng phần thường được áp dụng để tính các tích phân có dạng như sau:
Dạng 1 :

Trong đó
là hàm số đa thức, còn
là hàm
hoặc
hoặc
.
Trong trường hợp này ta đặt:


( Ghi nhớ : Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì khi thế vào công thức ta được
phức tạp hơn
ban đầu.

Dạng 2 :

Trong đó
là hàm số đa thức, còn
là hàm logarit.
Trong trường hợp này ta đặt:


(Ghi nhớ: Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì ta gặp khó khăn khi suy ra
từ
.
6). Bài tập :
Bài 1 : Cho hàm số
và hàm số
. Chứng minh rằng
là nguyên hàm của
.
Bài 2: Cho hai hàm số
;
.
a. Chứng minh rằng
là nguyên hàm của
.
b. Tìm nguyên hàm
biết rằng
.
Bài 3: Cho hàm số
và hàm số
.
a. Chứng minh rằng
là nguyên hàm của
.
b. Tìm nguyên hàm
của hàm số
biết rằng
.
Bài 4 : Cho hàm số
.
Tính
.
Dựa vào kết quả câu a, hãy