CHUYENDE_ONTAPTN2009_SOPHUC

TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

§1. SỐ PHỨC VÀ BIỂU DIỄN SỐ PHỨC :
Số phức là một biểu thức có dạng
, trong đó
.
Số phức
có
là phần thực,
là phần ảo.
Số phức
được biểu diễn bởi điểm
hay bởi
trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Hai số phức bằng nhau :

.
Modun của số phức
chính là độ dài của
. Vậy :

.
Số phức liên hợp của số phức
là số phức
. Chú ý rằng : các điểm biểu diễn
và
đối xứng nhau qua trục hoành. Do đó
là số thực khi và chỉ khi
,
là số ảo khi và chỉ khi

§2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC :
a. Phép cộng, trừ, nhân hai số phức :






Chú ý :
Các phép toán : cộng, trừ, nhân hai số phức thực hiện như rút gọn biểu thức đại số quen thuộc với chú ý rằng
. Các quy tắc đại số đã biết trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số phức.

. Tổng quát :
.

;
.
b. Phép chia hai số phức :

.
Như vậy :


Chú ý :

.
c. Các tính chất của số phức liên hợp và modun :

;
;
;
.

với mọi
,
.

;
;
;

§3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI :
a. Căn bậc hai của số phức :
Định nghĩa : Số phức
là căn bậc hai của số phức nếu :

.
Như vậy để tìm Số phức

là căn bậc hai của số phức
ta giải hệ phương trình hai ẩn x, y thực sau :


Chú ý :
Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0.
Số thực
có đúng hai căn bậc hai là :

Số thực
có hai căn bậc hai là
. Đặc biệt , số
có hai căn bậc hai là
.
b. Phương trình bậc hai :
Cho phương trình bậc hai
(
).
Nếu
, phương trình có một nghiệm kép
.
Nếu
, phương trình có hai nghiệm phân biệt :

,
trong đó
là một căn bậc hai của
.
c. Định lý Viet :
Nếu phương trình bậc hai
(
) có hai nghiệm
thì :

và
.
d. Định lý đảo của định lý Viet :
Nếu hai số
có tổng
và
thì
là nghiệm của phương trình :

.
§4. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC :
a. Dạng lượng giác của số phức :
Số phức
có dạng lượng giác là :
; trong đó :
,
,
,
là một acgumen của
.
Các tính chất của acgumen :
Nếu
là một acgumen của
thì
là một acgumen của
.
Nếu
là một acgumen của
thì
là một acgumen của
.
b. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác :
Nếu
và
thì :

,

.
c. Lũy thừa số phức dưới dạng lượng giác :
Nếu
thì

và
.
d. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :
Nếu
thì các căn bậc hai của
là :

, với
hay
.

BÀI TẬP
1. Tìm các số thực
, biết rằng :

.
2. Thực hiện các phép tính sau đây :
a.
; b.
; c.
;
d.
; e.
; f.
;
g.
.
3. Tìm modun của số phức
.
4. Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức sau :

.
5. Tìm số phức liên hợp của số phức sau đây :
.
6. Chứng minh rằng số phức sau đây là một số thực :


7. Chứng minh rằng số phức sau đây là một số ảo :
.
8. Chứng minh rằng số sau đây là số thực :
.
9. Cho số phức
. Tìm phần thực, phần ảo của số phức

10. Giải các phương trình sau :
a.
; b.
.
c.
.
11. Tìm số phức
, biết rằng :
a.
; b.
.
c.
; d.
.
12. Tìm số phức nghịch đảo của các số phức sau đây :
a.
; b.
.
13. Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau :
a.
; b.
.

14. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức :
a.
; b.
;