Chuyển đọng vật rắn

CHƯƠNG 9
SỰ QUAY CỦA VẬT RẮN
Bạn ngồi ở đâu trên các ghế quay vòng ở công viên cũng không có vấn đề gì, bạn đều có cùng một vận tốc góc và gia tốc góc. Nhưng vận tốc dài và gia tốc dài của bạn phụ thuộc vào khoảng cách đến trục quay. Nói chung, càng xa trục thì vận tốc dài và gia tốc dài càng lớn và càng "chống chếnh".
? Khi tăng khoảng cách đến trục quay gấp đôi, thì tốc độ của bạn tăng lên mấy lần? Gia tốc hướng tâm tăng lên mấy lần?
? Chuyển động của đĩa compact, vòng đu, lưỡi cưa tròn dẹt, quạt trần có gì chung?
Ta có thể giả sử bỏ qua biến dạng và vật thể luôn có hình dạng, kích thước hoàn toàn xác định. Ta gọi mẫu lý tưởng đó là vật rắn.
CHƯƠNG 9
SỰ QUAY CỦA VẬT RẮN
9.1 Vận tốc góc và gia tốc góc
9.2 Quay với gia tốc góc không đổi
9.3 Quan hệ giữa động học góc và động học dài
9.4 Năng lượng trong chuyển động quay
9.5 Định lý trục song song
9.1 Vận tốc góc và gia tốc góc
Xét vật rắn quay quanh một trục cố định - trục cố định là trục đứng yên trong một hệ quy chiếu quán tính nào đó và không thay đổi hướng đối với hệ đó.
Nhận xét:Trong những khoảng thời gian bằng nhau mọi điểm trên vật quét được những góc có độ lớn là như nhau.Do đó vận tốc góc,gia tốc góc là như nhau
Hình 9.2 :Một góc  đo bằng radian được xác định bằng tỷ số giữa độ dài cung s và bán kính r
Toạ độ góc  của vật rắn quay quanh trục cố định có thể dương hay âm. Nếu ta chọn góc dương là được đo ngược chiều quay kim đồng hồ tính từ hướng dương của x, thì góc  trong hình 9.1 là dương. Nếu thay chiều dương là cùng chiều kim đồng hồ thì góc  là âm (xem  trong hình 9.1).
Trong khi mô tả chuyển động quay, cách tự nhiên nhất là đo góc  không phải bằng độ mà bằng radians. Như chỉ ra trên hình 9.2a, một radian (1 rad) là góc ở tâm chắn bởi cung dài bằng bán kính vòng tròn. Trên hình 9.2b một góc  xác định bởi một cung
có độ dài s của vòng tròn bán kính r. Giá trị của
 (theo radian) là bằng với s chia cho r :
hay s = .r (9.1)
Hình 9.2
Góc tính bằng rad là tỷ số giữa hai độ dài nên nó thuần tuý là con số, không thứ nguyên. Nếu s = 3,0 m và r = 2,0 m thì  = 1,5; nhưng ta thường viết 1,5 rad, để phân biệt với việc đo bằng độ hoặc vòng.


Nếu ta cứ cố tình đo góc bằng độ thì phải đưa vào vế phải của s = r  trong phương trình (9.1) hệ số . Đo góc bằng rad thì hệ thức giữa góc và dịch chuyển trên cung thật đơn giản.
Vận tốc góc




Hình 9.3:
Khi ta nói "vận tốc góc" tức là nói vận tốc góc tức thời, không phải là vận tốc góc trung bình.
Chú ý: Nhớ phân biệt giữa vận tốc góc  với vận tốc thông thường v
Gia tốc góc
Khi vận tốc góc của vật rắn thay đổi, vật đó có một gia tốc góc.
Nếu 1, 2 lần lượt là vận tốc góc tức thời ở thời điểm t1 và t2, ta định nghĩa gia tốc góc trung bình av trong khoảng thời gian t = t2 - t1 là độ biến đổi vận tốc góc chia cho t:
(9.4)
Bảng 9.1 So sánh chuyển động quay và chuyển động
thẳng với gia tốc là hằng số.
9.4 Năng lượng trong chuyển động quay
Ta tưởng tượng vật gồm một số rất lớn các hạt khối lượng m1, m2..., ở những khoảng cách r1, r2..., kể từ trục quay. Ta đánh dấu các hạt bằng chữ i, khối lượng hạt thứ i là mi, ri là khoảng cách vuông góc từ trục đến hạt thứ i.
Khi vật rắn quay quanh trục cố định, tốc độ vi của hạt thứ i được cho bởi phương trình (9.13), vi = ri , ở đây  là tốc độ góc của vật. Các hạt khác nhau có ri khác nhau, nhưng  thì có một giá trị như nhau cho tất cả các hạt.
Động năng của hạt thứ i được mô tả bởi:
Động năng toàn phần của vật rắn là tổng động năng các hạt:




Lấy thừa số chung 2/2 ra ngoài biểu thức, ta có:
a) Định nghĩa momen quán tính:
Moment quán tính của vật thể đối với trục quay được ký hiệu bằng chữ I và có biểu thức:

(9.16)
Đối với vật thể có trục quay đã cho, khối lượng đã cho, moment quán tính càng lớn khi khoảng cách đến trục quay càng lớn. Trong vật thể rắn tất cả khoảng cách ri là hằng số và I không phụ thuộc vào việc vật thể quay quanh trục đó như thế nào.
Trong hệ SI, đơn vị của I là kg.m2.
Hình 9.16
Khối lượng xa trục hơn.
Moment quán tính lớn hơn.
Khó khởi động quay hơn.
Khối lượng gần trục
Moment quán tính nhỏ.
Dễ khởi động quay máy
.
có tác dụng làm dịch chuyển vật dọc theo trục quay

có tác dụng làm dịch chuyển vật dời xa trục quay
Như vậy chỉ có thành phần có tác dụng làm quay vật xung quanh trục .
Tác dụng làm quay vật không những phụ thuộc vào độ lớn của thành phần lực tiếp tuyến mà đồng thời còn phụ thuộc vào khoảng cách từ điểm đặt lực tới trục quay.Vậy để đặc trưng cho tác dụng làm quay vật người ta đưa ra khái niệm mômen lực
Cộng hai vế của các phương trỡnh
Nhân hai vế phương trỡnh trên với r1

Phương trỡnh động lực học của vật rắn chuyển động quay:
Phương trình viết gọn là
Dạng véc tơ của phương trỡnh
có hướng sao cho thứ tự ba véc tơ lập thành một tam diện thuận.
b) Động năng quay K của vật rắn quay:
Thông qua moment quán tính thì động năng quay K của vật rắn quay là: (9.17)


moment quỏn tớnh c�ng l?n c�ng khú kh?i d?ng quay v?t, n?u nú dang d?ng yờn, v� khú d?ng nú l?i khi nú dang quay
B?i v?y moment quỏn tớnh cung du?c g?i l� quỏn tớnh quay.
Thế năng hấp dẫn cho những vật thể
kích thước trải rộng
9.5 Định lý trục song song
Cho ta mối quan hệ đơn giản giữa moment quán tính Icm của vật thể khối lượng M quanh trục đi qua khối tâm và moment quán tính IP quanh trục bất kỳ khác song song trục gốc ban đầu nhưng dịch đi một đoạn d.
Biểu thức của định lý trục song song:

(9.19)


9.6 Tính moment quán tính
Khi vật rắn có khối lượng được phân bố liên tục, thì tổng của khối lượng và khoảng cách để xác định moment quán tính trong phương trình (9.16) trở thành một tích phân.
Tưởng tượng chia vật thể thành những phần tử khối lượng nhỏ dm sao cho tất cả mọi điểm trong phần tử riêng lẻ đó phải ở cùng một khoảng cách vuông góc đến trục quay.
Ta vẫn như trước đây, gọi khoảng cách này là r. Vì vậy mômen quán tính là:

(9.20)
Để tính tích phân ta phải biểu diễn r, dm qua các biến số tích phân.
Khi ta có vật thực sự một chiều, như thanh mảnh (a), (b) trong bảng 9.2, ta có thể sử dụng toạ độ x dọc theo chiều dài, biểu diễn quan hệ dm với dx.
Đối với vật thể 3 chiều, dễ dàng nhất là biểu diễn dm thông qua yếu tố thể tích dV và mật độ  của vật thể. Vậy ta cũng có thể viết phương trình (9.20) như sau:


Nếu mật độ đồng đều thì:
(9.21)
Mômen động lượng:
Từ phương trình



Vì I là mô men quán tính không thay đổi nên có thể đưa vào trong dấu vi phân.
thay


Định luật bảo toàn mô men động lượng
Đ¹i l­îng ®­îc x¸c ®Þnh b»ng tÝch ph©n
được gọi là xung lượng của mô men lực
trong thời gian
.
Nếu mô men tổng hợp các ngoại lực tác dụng lên vật rắn
(tức là trường hợp lực tác dụng vào vật rắn bằng 0
hoặc lực tổng hợp cắt trục quay hay song song với
trục quay)