Chuyên đề về tính đơn điệu của hàm số

Vấn đề 4. ĐẠO HÀM

TÓM TẮT GIÁO KHOA

I. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
1) Định nghĩa.
Cho hàm số xác định trên khoảngvà
Nếu tồn tại : thì đạo hàm của hàm số tại điểm là :

hay trong đó :

Cách tính đạo hàm tại một điểm
Bước 1. Giả sử là số gia của tính
Bước 2. Lập tỉ số
Bước 3. Tính
II. Các quy tắc tính đạo hàm
Giả sử và là các hàm số có đạo hàm tại x thuộc khoảng xác định. Ta có :
(k là hằng số)




III. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản











IV. Đạo hàm cấp cao
Cho hàm số có đạo hàm cấp kí hiệu là Nếu có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của kí hiệu là hay
với


CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tìm các giá trị của x để đạo hàm của hàm số sau đây bằng 0

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Phòng cháy Chữa cháy, 2001)
Giải
Ta có:






Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số :

có đạo hàm không phụ thuộc vào x.
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Thái Nguyên, 2001)
Giải
Ta có:






Do đó: (đpcm)

Ví dụ 3. Cho hàm số
Tính đạo hàm và giải phương trình
(Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 2000)
Giải











Ví dụ 4. Cho hàm số
Tính đạo hàm và giải bất phương trình
Giải
Với điều kiện ta có:



(do và

So với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình: và

Ví dụ 5. Chứng minh hàm số thoả mãn phương trình:

Giải
Ta có:



Do đó:


(đpcm)

Ví dụ 6. Cho hàm số Tính đạo hàm theo định nghĩa.
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y khoa Hà Nội, 2000)
Giải
Ta có:





Chú ý.

Ví dụ 7. Cho hàm số Tính đạo hàm theo định nghĩa.
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y khoa Hà Nội, 1998)
Giải
Ta có:






Chú ý.

Ví dụ 8. Tìm a để hàm số sau đây có đạo hàm tại

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Giao thông Vận tải Hà Nội, 2000)
Giải
Ta có:






có đạo hàm tại điểm
Vậy giá trị cần tìm là:

Ví dụ 9. Cho hàm số
1) Tính đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai của hàm số trên. Tổng quát, hãy tìm đạo hàm cấp n
2) Chứng minh rằng :

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Dân lập Duy Tân, 2000)
Giải
Ta có:




Suy ra:
(*)
(*) đã đúng khi
Giả sử (*) đúng khi ta có:
(**)
Ta sẽ chứng minh (*) vẫn đúng khi tức là:

Lấy đạo hàm hai vế của (**), ta có:
(đpcm)
Ta có:

(đpcm).

Ví dụ 10. Tính đạo hàm cấp n của hàm số
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Giao thông Vận tải, 1996)
Giải
Ta có: