Chuyên đề toán tổ KHTN "Tìm giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất của BT"

PHÒNG GD & ĐT PHỔ YÊN
TRƯỜNG THCS ĐÔNG CAO
TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN
CHUYÊN ĐỀ
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC
Lớp 6, 7
I – Lý thuyết
* Muốn tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x) ta cần chứng tỏ rằng:
1.
(m là hằng số) với mọi x.
Bằng cách dùng đến các hằng, bất đẳng thức:
Tổng quát:
;
2. Chứng tỏ dấu “=” được xảy ra.
(m là hằng số) với mọi x.
* Muốn tìm giá trị lớn nhất của biểu thức f(x) ta cần chứng tỏ rằng:
1.
Bằng cách dùng đến các hằng, bất đẳng thức:
;
và:
với
2. Chứng tỏ dấu “=” được xảy ra.
II – Bài tập
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Giải:
Ta có:


Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Ta có:
Giải:
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Giải:
Nhận xét: Phân thức A có tử số và mẫu số đều dương, tử số không đổi
=> A đạt giá trị lớn nhất khi mẫu số nhỏ nhất.
Với mọi x ta có:
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Giải:
ta có:
Do đó:

hay: x = -2
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải:
Ta có:
và:

=> Min B = 1 khi:
và
Tức: x = 1; y = -3
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
b)
c)
Giải:
Ta có:

a)
a)
b)
Nhận xét: Phân thức B có tử số và mẫu số đều dương, tử số không đổi
=> B đạt giá trị lớn nhất khi mẫu số nhỏ nhất.
Ta có:

Vậy:
c)
Có:



Vậy:
TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC
Lớp 8, 9
I – Lý thuyết
1.1. Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) của một biểu thức đại số cho biểu thức
f(x,y,...) xác định trên miền D: M được gọi là GTLN của f(x,y,...) trên miền |D
nếu 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn :
1. Định nghĩa
1. f(x,y,...) ? M ?(x,y,..) ? |D
2. ? (x0, y0,...) ? |D sao cho f(x0, y0...) = M.
Ký hiệu : M = Max f(x,y,..) = fmax với (x,y,...) ? |D
1.2. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức đại số cho biểu thức
f(x,y,...) xác định trên miền |D :
M được gọi là GTNN của f(x,y,...) trên miền |D đến 2 điều kiện sau đồng thời
thoả mãn :
1. f(x,y,...) ? M ?(x,y,..) ? |D
2. ? (x0, y0,...) ? |D sao cho f(x0, y0...) = M.
Ký hiệu : M = Min f(x,y,..) = fmin với (x,y,...) ? |D
2. Các bước tìm GTLN, GTNN cña mét biÓu thøc ®¹i sè
- Tìm TXĐ của biểu thức.
- Chứng minh rằng: f(x,y,...)  M hoặc : f(x,y,...)  N (M, N là hằng số)
Chỉ ra có ít nhất một bộ số: (x0, y0,...) sao cho: f(x0, y0...) = M
hoặc : f(x0, y0...) = N
Kết luận: Max f = M khi x = x0 ; y = y0 ; ...
Hoặc : Min f = N khi x = x0 ; y = y0 ; ...
3. Một số dạng bài tập
Đa thức có dạng tam thức bậc hai (ax2 + bx + c) hoặc dạng phân thức
mà mẫu số có dạng tam thức bậc hai
Phương pháp: Biến đổi tam thức bậc hai về dạng hằng đẳng thức là
bình phương nhị thức như sau:

(1)
Do :
nên ta có :
Hay: Min (ax2 + bx + c) =
khi
+ Nếu a > 0 thì:
+ Nếu a < 0 thì:
Hay: Max (ax2 + bx + c) =
khi
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = -x2 + 3x – 5
Giải:
A = -x2 + 3x – 5 = -(x2 – 3x + 5)
Có: a = 1, b = -3, c = 5.
Áp dụng công thức (1):
II – Bài tập cơ bản
A = -(x2 – 3x + 5)

Vậy:
khi

Hoặc: Ta có thể tách như sau
A = -x2 + 3x – 5 = -(x2 – 3x + 5)

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 2x2 – 10x + 7
Giải:
Có:
Vậy:
. Khi
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = 2x2 – 8x + 1
Giải:
Ta có: C = 2x2 – 8x + 1
Vậy: Min C = -7. Khi x = 2
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D = -5x2 – 4x + 1
Giải:
Ta có:
Hay:
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Giải:
Do đó,
Tử số và mẫu số của A là các số dương. A lớn nhất  Mẫu số nhỏ nhất.
Nhận xét:
Tức: x2 + x + 1 nhỏ nhất.
Mà:
Vậy: