Chuyen de to hop

Dạng 9
Một số bài toán về lập phương trình tổ hợp
Nội dung
Dạng 9. Một số bài toán về lập phương trình tổ hợp
Dạng 9A. Bài toán về tìm cấp số cộng
Dạng 9B. Một số bài toán về hình học
Dạng 9C. Bài toán về tam giác
Dạng 9A
Bài toán về tìm cấp số cộng
Bài tập mẫu
Hãy tìm ba số hạng liên tiếp lập thành một cấp số cộng trong dãy số sau

Giải
Ta có ba số theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
Bài tập tương tự
Hãy tìm ba số hạng liên tiếp lập thành một cấp số cộng trong dãy số sau

Giải
Ta có ba số theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
Lưu ý:
Một số tình huống thường gặp khi lập phương trình tổ hợp là:
Ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng (hoặc cấp số nhân) khi và chỉ khi 2b = a + c (hoặc b2 = ac ).
Cho tập hợp A có n phần tử, số tập con của A gồm x phần tử bằng k lần số tập con của A gồm y phần tử, tương ứng với phương trình
Dạng 9B
Một số bài toán về hình học
Bài tập mẫu
Cho một đa giác đều có 2n đỉnh, biết rằng số tam giác có 3 đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của đa giác bằng 20 lần số hình chữ nhật có 4 đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của đa giác đó. Hãy tìm n.
Giải
Cứ 3 trong số 2n đỉnh của đa giác tạo thành một tam giác. Số tam giác là Mặt khác đa giác đều 2n đỉnh có n đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác và cứ hai đường kính bất kỳ tạo thành một hình chữ nhật. Do đó số hình chữ nhật bằng số cách chọn 2 trong n đường kính, suy ra số hình chữ nhật là
Ta được phương trình:
Biến đổi phương trình:


Thực hiện rút gọn, ta được 2n – 1 = 15 hay n = 8. Đáp số n =8.
Lưu ý:
Số tam giác có ba đỉnh thuộc tập gồm n điểm là
Số hình chữ nhật có bốn đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của một đa giác đều 2n đỉnh là
Cho một tập hợp gồm n điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng (mỗi đường thẳng đi qua hai trong số các điểm thuộc tập hợp đó) là
Cho một tập hợp gồm n đường thẳng, trong đó không có ba đường thẳng nào đồng quy thì số giao điểm của chúng là
Bài tập tương tự
Cho một đa giác đều có 2n+1 đỉnh, tìm n, biết rằng số hình thang cân có 4 đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của đa giác đó bằng 476.
Giải
Đường thẳng qua mỗi đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện là một trục đối xứng của đa giác. Mỗi bên của trục đối xứng đó có n đỉnh. Cứ hai trong số n đỉnh đó cùng với hai đỉnh đối xứng qua trục trên tạo thành một hình thang cân
Số hình thang cân tương ứng với một trục đối xứng là . Vì có tất cả 2n+1 trục đối xứng nên số hình thang cân là
Ta được phương trình
Biến đổi phương trình:



Phương trình có nghiệm duy nhất n = 8. Đáp số n =8.
Dạng 9C
Bài toán về tam giác
Bài tập mẫu:
Cho hai đường thẳng song song với nhau (d1), (d2). Trên (d1) có 15 điểm, trên (d2) có n điểm. Hãy tìm n biết rằng số tam giác có 3 đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh đã cho là 3825.
Giải
Cứ mỗi điểm trên (d1) và hai điểm trên (d2) tạo thành một tam giác. Số tam giác như thế là Tương tự cứ mỗi điểm trên (d2) và hai điểm trên (d1) tạo thành một tam giác. Số tam giác như thế là
Theo quy tắc cộng, ta được số tam giác tạo thành là
Ta được phương trình
Biến đổi phương trình



Giải phương trình, ta được n = -30 (loại), n =17 (nhận). Đáp số n =17.
Lưu ý
Cho hai đường thẳng song song với nhau (d1), (d2). Trên (d1) có n điểm, trên (d2) có m điểm. Số tam giác có 3 đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh đã cho là
Bài tập tương tự
Một đa giác lồi có n đỉnh. Hãy tìm n biết rằng số tam giác có ba đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của đa giác nhưng không có cạch nào là cạnh của đa giác đó bằng 156.
Giải
Cứ ba trong số n đỉnh của đa giác tạo thành một tam giác. Số tam giác tạo thành một cách bất kỳ là . Ta tính số tam giác có ít nhất một cạnh của đa giác.
Tính số tam giác có một cạnh của đa giác: Ứng với một cạnh của đa giác có n - 4 tam giác có một cạnh là cạnh của đa giác. Suy ra số tam giác có một cạnh của đa giác là n(n - 4).
Bài tập tương tự (tt)
Tính số tam giác có hai cạnh của đa giác: Ứng với một đỉnh của đa giác có một tam giác có hai cạnh là cạnh của đa giác (là tam giác có hai cạnh kề nhau của đa giác chung với đỉnh trên). Suy ra số tam giác có hai cạnh của đa giác là n.
Ta được số tam giác thoả mãn bài toán là

Ta được phương trình:


Đáp số n =13.
Bài tập tương tự (tt)
Lưu ý
Một đa giác lồi có n đỉnh. Số tam giác có ba đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của đa giác nhưng không có cạch nào là cạnh của đa giác đó là