Chuyên đề Tổ hợp 5

Chuyên đề: Đại số tổ hợp
Dạng 5
Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử khác nhau
Nội dung
Nội dung
Dạng 5. Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử khác nhau
Dạng 5A: Phân chia một tập hợp ra thành các nhóm có số lượng bằng nhau
Dạng 5B: Phân chia một tập hợp ra thành các nhóm có số lượng không đều nhau
Dạng 5C: Phân chia một tập hợp ra thành các nhóm có số lượng hoàn toàn khác nhau
Dạng 5A
Phân chia một tập hợp ra thành các nhóm có số lượng bằng nhau
Bài tập mẫu
Có bao nhiêu cách chia 15 học sinh ra thành ba nhóm mỗi nhóm có 5 người trong các trường hợp:
a/ Các nhóm được đánh số thứ tự là: 1, 2, 3.
b/ Không biệt thứ tự các nhóm.
Giải.
a/ Số cách chọn 5 trong 15 học sinh cho nhóm 1 là Ứng với mỗi cách chọn trên, ta có số cách 5 trong 10 học sinh còn lại cho nhóm 2 là
5 học sinh còn lại vào nhóm 3.
Theo quy tắc nhân, ta được số cách chia là
b/ Vì không phân biệt thứ tự của ba nhóm nên khi hoán vị ba nhóm cho nhau ta được cùng một kết quả.
Vậy số cách chia là
Đáp số: 126126 cách chia.
Phân chia một tập hợp
ra thành các nhóm có số lượng bằng nhau
Lưu ý
Tập hợp A có n phần tử, cần chia thành các nhóm: nhóm 1 có k phần tử, nhóm 2 có m phần tử, … Tính số cách chia.
Cách giải
Đặc điểm của bài toán là các nhóm được đánh số thứ tự: 1, 2,.. và số lượng của các nhóm đã biết.
Ta chọn lần lượt: số cách chọn k trong n phần tử cho nhóm 1 là , ứng với mỗi cách chọn nhóm 1, số cách chọn m trong n-k phần tử còn lại là , cứ tiếp tục như vậy…
Theo quy tắc nhân, ta được số cách chia là
Phân chia một tập hợp
ra thành các nhóm có số lượng bằng nhau
Bài tập tương tự
Có bao nhiêu cách chia 12 học sinh ra thành bốn nhóm mỗi nhóm gồm 3 người để làm lao động. Trong đó có hai nhóm trồng cây và hai nhóm làm vệ sinh sân trường (không biệt thứ tự các nhóm cùng làm một việc giống nhau).
Giải
Giả sử ta kí hiệu nhóm 1, 2 trồng cây, nhóm 3, 4 làm vệ sinh sân trường. Số cách chọn 3 trong 12 học sinh cho nhóm 1 là Ứng với mỗi cách chọn trên, ta có số cách 3 trong 9 học sinh còn lại cho nhóm 2 là Sau đó có số cách 3 trong 6 học sinh còn lại cho nhóm 3 là 3 học sinh còn lại vào nhóm 4.
Phân chia một tập hợp
ra thành các nhóm có số lượng bằng nhau
Bài tập tương tự (tt)
Theo quy tắc nhân, ta được số cách chia nhóm có phân biệt thứ tự các nhóm là
Khi hoán vị các nhóm 1 và 2 cho nhau, ta có cùng một kết quả.
Tương tự, khi hoán vị các nhóm 3 và 4 cho nhau, ta có cùng một kết quả.
Nên số cách chia phải tìm là
Đáp số: 92400 cách chia.
Phân chia một tập hợp
ra thành các nhóm có số lượng bằng nhau
Lưu ý
Giả sử trong bài toán, nếu phân biệt thứ tự các nhóm, ta tính được số cách chia là S và trong đó có k nhóm nào đó không phân biệt thứ tự thì khi hoán vị k nhóm đó cho nhau, ta có cùng một kết quả. Do đó số cách chia phải tìm là
Phân chia một tập hợp
ra thành các nhóm có số lượng bằng nhau
Dạng 5B
Phân chia một tập hợp ra thành các nhóm có số lượng không đều nhau
Bài tập mẫu
Có bao nhiêu cách chia 8 đồ vật khác nhau cho 3 người sao cho trong đó có một người được hai đồ vật và hai người còn lại mỗi người được ba đồ vật.
Giải
Có 3 cách chọn người nhận hai đồ vật. Số cách chọn 2 trong 8 đồ vật cho người đó là . Ứng với mỗi cách chọn trên, số cách chọn 3 trong 6 đồ vật còn lại cho người được ba đồ vật thứ nhất là . Ba đồ vật còn lại cho người được ba đồ vật thứ hai.
Theo quy tắc nhân, ta được số cách chia là
Đáp số: 1680 cách chia.
Phân chia một tập hợp
ra thành các nhóm có số khác bằng nhau
Lưu ý
Với bài toán trên, rất dễ mắc sai lầm khi tính ra đáp số là hoặc

Với đáp số thứ nhất , ta đã không phân biệt người nhận hai đồ vật và người nhận 3 đồ vật.
Với đáp số thứ hai , ta đã phân biệt hai người nhận cùng nhận 3 đồ vật.

Phân chia một tập hợp
ra thành các nhóm có số khác bằng nhau
Bài tập tương tự
Có bao nhiêu cách chia 11 đồ vật khác nhau cho 3 người sao cho mỗi người được ít nhất ba đồ vật.
Giải
Ta có hai cách phân tích: 11 = 3 + 3 + 5 = 3 + 4 + 4
TH1. Một người được 5 đồ vật và 2 người còn lại được 3 đồ vật:
Có 3 cách chọn người nhận 5 đồ vật. Số cách chọn 5 trong 11 đồ vật cho người đó là
Ứng với mỗi cách chọn trên, số cách chọn 3 trong 6 đồ vật còn lại cho người được ba đồ vật thứ nhất là
Ba đồ vật còn lại cho người được ba đồ vật thứ hai.
Theo quy tắc nhân, ta được số cách chia là
Phân chia một tập hợp
ra thành các nhóm có số khác bằng nhau
Bài tập tương tự (tt)
TH 2. Một người được 3 đồ vật và 2 người còn lại được 4 đồ vật:
Có 3 cách chọn người nhận 3 đồ vật. Số cách chọn 3 trong 11 đồ vật cho người đó là
Ứng với mỗi cách chọn trên, số cách chọn 4 trong 8 đồ vật còn lại cho người được 4 đồ vật thứ nhất là .
Bốn đồ vật còn lại cho người được bốn đồ vật thứ hai.
Theo quy tắc nhân, ta được số cách chia là
Theo quy tắc cộng, ta được số cách chia là: 27720 + 34650 = 62370.
Phân chia một tập hợp
ra thành các nhóm có số khác bằng nhau
Dạng 5C
Phân chia một tập hợp ra thành các nhóm với số lượng hoàn toàn khác nhau
Bài tập mẫu
Có bao nhiêu cách chia 9 đồ vật khác nhau cho 3 người sao cho trong đó có một người được hai đồ vật, một người được ba đồ vật và người còn lại được 4 đồ vật.
Giải
Số cách chọn 2 trong 9 đồ vật cho người được 2 đồ vật là .
Ứng với mỗi cách chọn trên, số cách chọn 3 trong 7 đồ vật còn lại cho người được 3 đồ vật là .
Bốn đồ vật còn lại cho người được bốn đồ vật. Số hoán vị của 3 người để nhận số đồ vật trên là 3!.
Theo quy tắc nhân, ta được số cách chia là
Đáp số: 7560 cách chia.
Phân chia một tập hợp ra thành các nhóm
Lưu ý
Vì số lượng của ba người khác nhau nên sau khi chia số đồ vật đã cho theo số lượng của mỗi người, ta phải nhân với số hoán vị của ba người để nhận số đồ vật đó.

Phân chia một tập hợp ra thành các nhóm
Bài tập tương tự
Có bao nhiêu cách chia 6 đồ vật khác nhau cho 3 người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật.
Giải
Ta có ba cách phân tích 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
TH1. Một người được 4 đồ vật và 2 người còn lại được 1 đồ vật:
Có 3 cách chọn người nhận 4 đồ vật. Số cách chọn 4 trong 6 đồ vật cho người đó là
Ứng với mỗi cách chọn trên, số cách chọn 1 trong 2 đồ vật còn lại cho người được 1 đồ vật thứ nhất là 2. Một đồ vật còn lại cho người được một đồ vật thứ hai.
Theo quy tắc nhân, ta được số cách chia là:
Phân chia một tập hợp ra thành các nhóm
Bài tập tương tự (tt)
TH 2: Một người được 1 đồ vật, một người được 2 đồ vật, người còn lại được 3 đồ vật:
Số cách chọn 1 trong 6 đồ vật cho người được 1 đồ vật là
Ứng với mỗi cách chọn trên, số cách chọn 2 trong 5 đồ vật còn lại cho người được 2 đồ vật là
Ba đồ vật còn lại cho người được ba đồ vật. Số hoán vị của 3 người để nhận số đồ vật trên là 3!.
Theo quy tắc nhân, ta được số cách chia là
Phân chia một tập hợp ra thành các nhóm
Bài tập tương tự (tt)
TH3. Mỗi người được 2 đồ vật.
Số cách chọn 2 trong 6 đồ vật cho người thứ nhất là
Ứng với mỗi cách chọn trên, số cách chọn 2 trong 4 đồ vật còn lại cho người thứ hai là
Hai đồ vật còn lại cho người thứ ba.
Theo quy tắc nhân, ta được số cách chia là
Theo quy tắc cộng, ta được số cách chia là 90 + 360 + 90 = 540
Đáp số: 540 cách chia.
Phân chia một tập hợp ra thành các nhóm