Chuyên đề Tổ hợp 2

Chuyên đề: Đại số tổ hợp
Dạng 2
Một số bài toán về tạo số
(tiếp theo)
Nội dung
Nội dung
Dạng 2: Một số bài toán về tạo số
Dạng 2A. Tính số số tự nhiên có chữ số lặp lại
Dạng 2B. Tính tổng của các số tạo thành
Dạng 2A
Tính số số tự nhiên có chữ số lặp lại
Bài tập mẫu
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà trong đó có một chữ số có mặt hai lần và ba chữ số còn lại khác nhau và khác chữ số trên.
Giải
Số tạo thành có 5 vị trí. Nếu không phân biệt vài trò của chữ số 0, thì ta có 10 cách chọn chữ số có mặt hai lần và có cách chọn hai trong năm vị trí cho chữ số đó. Sau đó số cách chọn ba trong chín chữ số còn lại cho ba vị trí còn lại của số tạo thành là .
Ta được số số là .
Vì vai trò của 10 chữ số thuộc tập hợp {0, 1, …., 9} là như nhau nên số số có chữ số đầu bằng 0 là .
Vậy số số thoả mãn bài toán là 50400 – 5040 = 45360.
Đáp số : 45360 số.
Dạng 2A: Tính số số tự nhiên có chữ số lặp lại
Lưu ý
Lưu ý 1. Trong các bài toán tạo số, nếu trong đầu bài có vai trò các chữ số như nhau thì ta có thể giải bài toán theo các bước :
Tính số số tạo thành mà trong đó có cả chữ số 0 đứng đầu (giả sử kết quả là S).
Vì vai trò của các chữ số đã cho như nhau (giả sử cho trước k chữ số) nên số số có chữ số 0 đứng đầu là .
Do đó số số thoả mãn bài toán là .
Lưu ý 2.
Số cách chọn k trong n vị trí cho k chữ số giống nhau là
Số cách chọn k trong n chữ số cho k vị trí cho trước là
Dạng 2A: Tính số số tự nhiên có chữ số lặp lại
Bài tập tương tự - Bài tập 1
Cho tập hợp các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Từ chúng viết được bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số mà trong đó có một chữ số có mặt ba lần, một chữ số khác có mặt hai lần và hai chữ số còn lại khác nhau và khác các chữ số trên.
Giải.
Số tạo thành có 7 vị trí và tập hợp các chữ số cho trước có 7 phần tử. Nếu không phân biệt vài trò của chữ số 0, thì ta có 7 cách chọn chữ số có mặt ba lần và có cách chọn ba trong bảy vị trí cho chữ số đó. Sau đó số cách chọn chữ số có mặt hai lần là 6 và số cách chọn hai trong bốn vị trí còn lại cho chữ số đó là . Tiếp theo số cách chọn hai trong năm chữ số khác với hai chữ số trên để viết vào hai vị trí còn lại của số tạo thành là
Ta được số số là
Vì vai trò của 7 chữ số thuộc tập hợp {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} là như nhau nên số số có chữ số đầu bằng 0 là
Vậy số số thoả mãn bài toán là 176400 – 25200 = 151200.
Đáp số: 151200 số.
Dạng 2A: Tính số số tự nhiên có chữ số lặp lại
Bài tập tương tự (tt) - Bài tập 2
Cho tập hợp các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Từ chúng viết được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà trong đó có hai chữ số 1 và ba chữ số còn lại khác nhau và khác 1.
Giải
Số tạo thành có 5 vị trí và tập hợp các chữ số cho trước có 6 phần tử. Xét các trường hợp:
TH1. Trong số tạo thành có chữ số 0. Lần lượt, ta có:
Số cách chọn vị trí cho chữ số 0 là 4; sau đó số cách chọn hai trong bốn vị trí còn lại cho hai chữ số 1 là ; tiếp theo số cách chọn hai trong bốn chữ số còn lại cho hai vị trí còn lại là
Ta được số số là
Dạng 2A: Tính số số tự nhiên có chữ số lặp lại
Bài tập tương tự (tt) - Bài tập 2 (tt)
TH2. Trong số tạo thành không có chữ số 0. Lần lượt, ta có:
Số cách chọn hai trong năm vị trí cho hai chữ số 1 là ; tiếp theo số cách chọn ba trong bốn chữ số còn lại cho ba vị trí còn lại là
Ta được số số là
Theo quy tắc cộng số số phải tìm là 288 + 240 = 528.
Đáp số : 528 số.
Dạng 2A: Tính số số tự nhiên có chữ số lặp lại
Dạng 2B
Tính tổng của các số tạo thành
Bài tập mẫu
Cho tập hợp các chữ số {0, 1, 2, 3, 4}. Từ chúng viết được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau. Tính tổng của tất cả các số đó.
Giải
Tập hợp {0, 1, 2, 3, 4} có 5 chữ số và số tạo thành có 4 vị trí. Nếu coi vai trò của 5 chữ số đã cho như nhau, thì mỗi số có bốn chữ số tạo thành là một chỉnh hợp chập bốn của năm chữ số trên. Ta được số số là
Trong 120 số đó, ở mỗi vị trí (vị trí hàng nghìn, trăm, chục, đơn vị), mỗi chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có mặt lần.
Như vậy có 24 số mà chữ số đầu bằng 0. Số số tạo thành thoả mãn bài toán là 120 – 24 = 96.
Dạng 2B: Tính tổng của các số tạo thành
Bài tập mẫu (tt)
Để tính tổng của tất cả 96 số trên, ta tính số lần có mặt của mỗi chữ số 1, 2, 3, 4 ở từng vị trí.
Ở vị trí hàng nghìn, mỗi chữ số 1, 2, 3, 4 có mặt 24 lần.
Ở vị trí hàng trăm, chữ số 0 có mặt 24 lần nên mỗi chữ số 1, 2, 3, 4 có mặt lần. Cũng tương tự, ở các vị trí hàng chục, đơn vị, mỗi chữ số 1, 2, 3, 4 có mặt 18 lần.
Ta có tổng các chữ số: 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
Vậy tổng của tất cả 96 số tạo thành là:
Dạng 2B: Tính tổng của các số tạo thành
Lưu ý
Muốn tính tổng các số tạo thành theo một điều kiện nào đó, ta có thể làm như sau:
Tính số số tạo thành thoả mãn bài toán.
Tính số lần có mặt của mỗi chữ số khác không ở mỗi hàng (hàng đơn vị, chục, trăm,…).
Giả sử tổng các chữ số mà đầu bài đã cho là s và ở vị trí hàng trăm mỗi chữ số khác 0 xuất hiện k lần thì tổng các số theo hàng này là ks.100. Với các hàng khác làm tương tự.

Dạng 2B: Tính tổng của các số tạo thành
Bài tập tương tự
Cho tập hợp các chữ số {1, 2, 3, ,4 ,5, 6}. Từ chúng viết được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau. Tính tổng của tất cả các số đó.
Giải
Tập hợp {1, 2, 3, ,4 ,5, 6} có 6 chữ số và số tạo thành có 5 vị trí. Mỗi số có năm chữ số tạo thành là một chỉnh hợp chập năm của sáu chữ số trên. Ta được số số là
Trong 720 số đó, ở mỗi vị trí (vị trí hàng chục nghìn, nghìn, trăm, chục, đơn vị), mỗi chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có mặt (lần).
Ta có tổng các chữ số: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.
Vậy tổng của tất cả 720 số tạo thành là: 120.21.11111 = 27999720.
Cách tính tổng khác: ta chia 720 số tạo thành ra 360 cặp, mỗi cặp gồm hai số có tổng bằng 77777.
Ta được tổng của 720 số là: 77777 x 360 = 27999720.
Đáp số : Có 720 số và tổng của chúng bằng 27999720.
Dạng 2B: Tính tổng của các số tạo thành