Chuyên đề tìm Max, Min

Tìm hiểu một số bài toán cực trị trong chương trình THCS
A.Lời mở đầu:
Các bài toán cực trị ở cấp THCS có một vị trí khá quan trọng, góp phần không nhỏ vào việc rèn luyện kỹ năng tư duy, khả năng phân tích phán đoán, kỹ năng biến đổi, tính toán, khả năng suy luận và tổng hợp. Để giải được các bài toán này yêu cầu học sinh phải biết biến đổi đồng nhất các biểu thức, sử dụng thành thạo các hằng đẳng thức, các bất đẳng thức cũng như các phép giải phương trình, hệ phương trình, điều kiện của phương trình, hệ phương trình có nghiệm. Ngoài ra học sinh còn phải biết vận dụng được các kiến thức về hàm số ( chủ yếu là hàm số bậc 2) cũng như tính chất và đồ thị của nó. Một số bài còn phải dựa vào phép biến đổi tọa độ, biểu diễn các đại lượng của bài toán thông qua các điểm, đoạn thẳng trên mặt phẳng tọa độ. Như vậy việc cung cấp cho học sinh hệ thống các bài toán cực trị( đại số, hình học ) phải đi từ những dạng cơ bản, với các phương pháp giải chúng đến những bài toán khó hơn để học sinh không lúng túng. Thực tế giảng dạy cho thấy ứng với mỗi cách suy nghĩ đúng hướng, cách phân tích hợp lí, suy luận chặt chẽ, linh hoạt giáo viên đã định hướng cho học sinh khả năng khai thác từng dạng bài.
I>Các kiến thức cơ bản
1>Định nghĩa:
Nếu biểu thức f(x,y,...,z) với (x,y,...,z) xác định trên tập M thỏa mãn 2 điều kiện sau:
+ f(x,y,...,z)?A hay f(x,y,...,z) ?B
?( x,y,...,z)? M và A, B là hằng số.
+ Tồn tại ít nhất bộ giá trị (x0,y0,...,z0)?M sao cho
f( x0,y0,...,z0)=A hay f( x0,y0,...,z0)=B
Thì A được gọi là giá trị lớn nhất của f(x,y,...,z) trên M còn B được gọi là giá trị bé nhất của f(x,y,...,z) trên M. Ký hiệu maxf=A;(fmax=A);
minf=B; ( fmin=B )
2) Một số phương pháp thường dùng
+ Cho P=A+B thì maxP=maxA+maxB
(minP = minA + minB)
Trong đó A và B là các biểu thức chứa các biến độc lập với nhau hoặc nếu A,B chứa cùng biến thì cùng đạt GTLN(GTNN) tại một giá trị xác định x=x0?TXĐ tức là maxP=P(x0); maxA=A(x0); maxB=B(x0)
+ Cho
với A>0 thì
+
(Với k?N; m,M là hằng số thực)
+ Nếu A ? 0 thì max(A)2 = (maxA)2 ; min(A2) = (minA)2
+ Sử dụng các BĐT : Côsi, Bunhia copxki và các BĐT khác
+ Sử dụng các kiến thức về giải phương trình , giải hệ phương trình, điều kiện để hệ phương trình, phương trình có nghiệm
+ Sử dụng các kiến thức về hàm số( chủ yếu là hàm số bậc hai ) tính đồng biến, nghịch biến cũng như đồ thị của nó
+ Sử dụng phương pháp hình học: có thể biểu thị các đại lượng của bài toán trên mặt phẳng tọa độ thông qua các điểm cố định, các đoạn thẳng có độ dài không đổi và thành lập mối liên hệ giữa chúng
II. Sử dụng BĐT cô si để giải bài toán cực trị như thế nào?
1)Các dạng của BĐT cô si cho các số không âm.
a)Dưới dạng căn thức:
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1=a2=...=an
b) Dưới dạng lũy thừa:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b
c)Một số dạng khác:
(không đổi) thì tổng a+b nhỏ nhất khi a=b.
*Với a>0, b>0 mà a+b =m2 ( không đổi ) thì tích a.b lớn nhất khi a=b
2. Một số bài toán cụ thể
Bài 1: Giả sử x,y là các số thực dương thỏa mãn x+y=1
Tìm GTNN của biểu thức :
Hướng dẫn:
Ta có:1= (x+y)3 = x3 + y3 + 3xy(x+y)
= x3 + y3 + 3xy.
Khi đó:
áp dụng BĐT cô si cho 2 số dương ta có:
Có đẳng thức:
Như vậy từ (*) ta suy ra x,y là nghiệm PT bậc 2
Giải phương trình này ta được:
Vậy:
Bài số 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hướng dẫn:
Trước hết áp dụng BĐT côsi cho 2 số dương ta có
Suy ra:
Lại áp dụng cô si cho 4 số dương ta được:
Có đẳng thức
Bài số 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
áp dụng BĐT cô si cho từng cặp số dương ta có:
Cộng 2006 BĐT trên theo từng vế ta được:
Hướng dẫn:
Bài toán 4:
Tìm GTNN của biểu thức
Hướng dẫn:
Khi đó
áp dụng BĐT cô si cho 4 số dương ta có:
Có đẳng thức A
Bài số 5:
Tìm GTLN của biểu thức B=x2+y2+z2. Biết x,y,z là các số thực không âm và thỏa mãn đ/k:
X2007 + y2007 + z2007 = 3 .
Hướng dẫn:
áp dụng BĐT côsi cho 2007 số không âm ta có:
Tương tự:
Cộng 3 BĐT trên theo từng vế ta được:
Có đẳng thức B=3 khi và chỉ khi x=y=z=1
Vậy MaxB=3 khi và chỉ khi x=y=z=1
Bài số 6:
Tìm GTNN của biểu thức
Trong đó x,y,z là các số dương thỏa mãn:
Hướng dẫn
áp dụng BĐT 2(a2+b2)?(a+b)2 ta có:
Vậy
Bài số 7: Xét các tam thức bậc hai:f(x)=ax2+bx+c
(a,b,c?Z,a>0) có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0;1). Trong các tam thức đó hãy tìm tam thức có hệ số a nhỏ nhất.
Hướng dẫn
Giả sử tam thức bậc 2: f(x)=ax2+bx+c với a,b,c ?Z
a>0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ?(0;1)
Ta có: f(x) =a.(x-x1)(x-x2) và f(0), f(1) ?Z
Mặt khác f(0)=ax1x2>0; f(1)=a(1-x1)(1-x2)>0
Do đó f(0) ?1; f(1)?1
Ta có: 1?f(0).f(1)=a2.x1.(1-x1).x2.(1-x2)
áp dụng BĐT côsi cho 2 số dương có tổng không đổi ta có:
Lại do x1?x2 nên
Vì f(0)=f(1)=1 tức là
thì x1,x2?(0;1)
Vậy tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c có hệ số a nhỏ nhất cần tìm là : f(x)=5x2-5x+1
Bài số 8:
Cho a,b,c là các số không nhỏ hơn 1. Tìm GTNN của biểu thức .
Hướng dẫn:
Cách 1:
Khi đó
áp dụng BĐT cô si cho 9 số dương ta có:
=> MinM=9 ?a=b=c=1
Cách 2:
Từ a?1,b ?1,c ?1 suy ra:
2(ab+bc+ca)?2(a+b+c) ?a+b+c+3
Mặt khác áp dụng BĐT côsi ta lại có:
Tương tự
Bài 9:
Xét các tam giác ABC có độ dài các cạnh là a,b,c sao cho thỏa mãn hệ thức 15bc+10ca+1964ab=2006a.b.c
Tìm GTNN của biểu thức
Trong đó p là nửa chu vi của tam giác ABC
Hướng dẫn:
Ta viết
đều
C.Một số tình huống hay gặp của học sinh khi giải các bài toán cực trị đại số
Bài 15: Biết rằng x+y+z =1 và x,y,z >0.
Tìm GTLN của S=xyz(x+y)(y+z)(z+x)
1)Tình huống mà học sinh đã giải quyết.
áp dụng BĐT cô si cho từng cặp 2 số không âm.
Có nhiều phương pháp giải các bài toán tìm GTLN, GTNN của một biểu thức. Một trong những phương pháp có hiệu quả là dùng các BĐT quen thuộc( chẳng hạn như BĐT cô si đối với các bài toán trên ). Nhưng cũng chính những phương pháp này dễ gây ra một số sai lầm mà học sinh thường mắc phải nếu không nắm vững bản chất của nó .
Xét các bài toán sau:
Ta có:
Nhân vế ta có:
Do đó
Nhận xét lời giải trên: Nếu học sinh trả lời
Thì khi đó phải tìm được (x0,y0,z0) là nghiệm của hệ phương trình sau:
Hệ (*) VN do đó không tồn tại (x0,y0,z0) để
2)Lời giải cho bài toán
Với x,y,z>0 áp dụng BĐT cô si ta có:
Bài số 16: Tìm GTNN của biểu thức P=x4+2x3+3x2+2x+1
1.Tình huống 1 của học sinh
Dựa vào hằng đẳng thức ta thấy x4+2x3+3x2+2x+1=(x2+x+1)2
Suy ra P=(x2+x+1)2?0 ?x Vậy minP=0
2.Tình huống 2 của học sinh:
Nhận xét:* ở tình huống 1: Không tìm được giá trị của x để x2+x+1=0. Do đó không tồn tại x để P(x)=0.
*ở tình huống 2:
Khi đó đồng thời nhận 2 giá trị
Do đó không thể kết luận
3.Lời giải bài toán: Ta có P=(x2+x+1)2
Đặt x2+x+1=A
Do đó
Vì A>0 mà P=A2
Bài số 18: Cho x,y,z là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức:
1.Tình huống của học sinh:
áp dụng BĐT
Cộng 4 BĐT trên theo vế ta được P?8
Như vậy với điều kiện x,y,z,t>0 thì các BĐT trên không xảy ra đẳng thức
Vậy không thể kết luận GTNN của P là 8( hay minP=8).
Với x,y,z,t >0 ta có:
2.Lời giải của bài toán:
Nhân cả 2 vế của P với 3 và ghép từng cặp cho phù hợp.
Ta có
Dấu bằng ?
Nếu không chỉ ra được bộ giá trị (x0,y0,...,z0) để f(x0,y0,...,z0)=A thì không thể khẳng định maxf=A mặc dù có f(x,y,...z)?A ?x,y,..,z?M
(hoặc minf=B mặc dù f(x,y,...,z)?B, ?x,y,...,z?M với A,B là hằng số)
Bộ giá trị (x0,y0,...,z0) để f(x0,y0,...,z0)=A thường được tìm bằng cách áp dụng điều kiện xảy ra dấu " = ? trong các BĐT đã dùng
Nhưng trong các bài toán dạng cực trị có điều kiện nếu chỉ chú ý đến điều kiện xảy ra dấu " = ?của các BĐT đã dùng mà không kết hợp với điều kiện ràng buộc của bài toán thì cũng dễ mắc sai lầm
Kết luận
Một số lưu ý khi giải bài trên tìm GTLN, GTNN