Chuyên đề số chính phương

I Khái niệm:

2. Khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố ta được các thừa số là lũy thừa của số nguyên tố với số mũ chẳn.
Chẳng hạn: 36=6^2 100= 10^2

6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.


3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n thuộc N).

4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n thuộc N).

5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2
Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

SỐ CHÍNH PHƯƠNG
II. Tính chất:
1. Số chính phương không tận cùng bởi các chữ số: 2,3,7,8
Chuyên đề:
Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.

I Khái niệm:

SỐ CHÍNH PHƯƠNG
II. Tính chất:
a) Để chứng minh một số là số chính phương
- Khái niệm
Nếu hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số a, b cũng là một số chính phương.

III Nhận biết:

b) Để chứng minh một số N không phải là số chính phương ta có thể:
- Chứng minh N có chữ số tận cùng là 2,3,7,8. 
- Chứng minh N chứa số nguyên tố với mũ lẽ. 
- Xét số dư khi N cho 3 hoặc cho 4 hoặc cho 5 cho 8.
- Chứng minh N nằm giữa hai số chính phương liên tiếp.
A^2 < N < (A+1)^2
* N chia cho 3 dư 2; N chia cho 4; 5 có số dư là 2; 3.
suy ra N không phải là số chính phương
I. Khái niệm:

SỐ CHÍNH PHƯƠNG
II. Tính chất:
III. Nhận biết:

IV. Một số dạng bài tập:

Bài 1: Tìm a để 17a+8 là số chính phương
SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.
IV. Một số dạng bài tập:

SỐ CHÍNH PHƯƠNG
IV. Một số dạng bài tập:

Bài 3: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương
SỐ CHÍNH PHƯƠNG
IV. Một số dạng bài tập:

Bài 4: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số chính phương.

Gọi a và b là hai số lẻ bất kỳ.
SỐ CHÍNH PHƯƠNG
IV. Một số dạng bài tập:

Bài 5: Tìm số tự nhiên a khác không để phương trình sau có nghiệm nguyên x^2 +2ax - 3a = 0
Xét ’ =a^2 +3a
Để phương trình có nghiệm nguyên thì a^2 +3a là số chính phương
Lại có
a^2 < a^2 + 3a < a^2 +4a+4
=> a^2 < a^2 + 3a < (a+2)^2
Do đó
a^2 + 3a =(a+1)^2
=> a= 1
Với a= 1 phương trình có nghiệm nguyên x=1; x= -3.
SỐ CHÍNH PHƯƠNG
IV. Một số dạng bài tập:

Bài 6: Cho p là tích của n số nguyên tố đầu tiên ( n >1).
CMR: p-1 không thể là số chính phương.
Giả sử p-1 là số chính phương.
Do p là tích của n số nguyên tố đầu tiên (n >1)
=> p chia hết cho 3
Đặt p-1 = 3k -1
Một số chính phương không có dạng 3k– 1. Từ đây ta suy ra điều mâu thuẫn.
SỐ CHÍNH PHƯƠNG
V. Một số điều thú vị liên quan đến số chính phương:
1. “Sự tuần hoàn của một số chính phương”.
Quan sát các chữ số cuối của các bình phương các số từ 1 đến 9 ta thấy xuất hiện dãy số 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. Bình phương của 10 là 100, có chữ số cuối là 0. Các bình phương của các số tiếp theo cũng có các chữ số cuối lập thành dãy số 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. tất cả các bình phương của các số tự nhiên có các chữ số cuối lặp đi lặp lại trong vòng tuần hòan này, hiện tượng lặp đi lặp lại vô số lần. Vòng lặp đi lặp lại này có số 0 làm ranh giới.
Người ta còn phát hiện “số gốc” của các bình phương chỉ có thể là 1, 4, 7, 9. mà không thể là các chữ số khác. “số gốc” chính là kết quả phép tính cộng dồn các chữ  số có trong một con số, lấy số 9 làm điểm dừng.
Ví dụ : “số gốc” của 135 là 9, “số gốc” của 246 là 3…
SỐ CHÍNH PHƯƠNG
V. Một số điều thú vị liên quan đến số chính phương:
1. “Sự tuần hoàn của một số chính phương”.
Ứng dụng tính chất vừa nêu ta có thể phán đoán một số có phải là một số chính phương hay không.
Ví dụ : Xét xem số 98765432123456789 có phải là một số chính phương hay không ?
Ta tìm số gốc của con số trên :
            Ta có thể tính như sau :
9+8+7+6+5+4+3+2+1+2+3+4+5+6+7+8+9
=  (9+8+7+6+5+4+3+2+1)+(2+3+4+5+6+7+8+9)
=                     45              +               44
=                     89
     8 + 9 = 17;            1 + 7 = 8 => có số gốc là 8
Số gốc là 8 khác 1,4,7,9 nên số A không là số chính phương. 
SỐ CHÍNH PHƯƠNG
V. Một số điều thú vị liên quan đến số chính phương:
1. “Sự tuần hoàn của một số chính phương”.
Số gốc của các số chính phương còn lập thành một dãy số tuần hoàn  1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1. Ở đây chữ số ranh giới là chữ số 9 chứ không phải là chữ số 0 như tính chất trên.
Ví dụ :             100 ( bình phương của 10) có số gốc là 1
                        121 ( bình phương của 11) có số gốc là 4
144 ( bình phương của 12) có số gốc là 9
169 ( bình phương của 13) có số gốc là 7
196 ( bình phương của 14) có số gốc là 7
225 ( bình phương của 15) có số gốc là 9
256 ( bình phương của 16) có số gốc là 4
289 ( bình phương của 17) có số gốc là 1
324 ( bình phương của 18) có số gốc là 9      (ranh giới của chu kỳ).
361 ( bình phương của 13) có số gốc là 1      (ranh giới lặp lại)
SỐ CHÍNH PHƯƠNG
V. Một số điều thú vị liên quan đến số chính phương:
2. “Sự kì lạ của số lẻ”
    Đến đây ta có quy luật: Tổng n số lẻ đầu tiên là một số chính phương
1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = n^2                  
SỐ CHÍNH PHƯƠNG
V. Một số điều thú vị liên quan đến số chính phương:
“Lại thêm một điều thú vị” từ bài 72/sgk Toán 6 trang 31
Nếu ta để ý ta có thể nhận ra rằng:
SỐ CHÍNH PHƯƠNG
VI. Một số bài tập liên quan đến số chính phương:
Hết
Mặt dù đã cố gắng hết sức, nhưng không sao tránh được sơ suất và thiếu sót. Mong quí đồng nghiệp bỏ qua và góp ý thêm để chuyên đề được hoàn thiện hơn!
Giáo viên thực hiện:
Nguyễn Quốc Bình