Chuyen de OnTthiTN- Khaosathamso_2008

PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

(1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a,b)
1) f tăng trên (a,b) nếu với mọi x1, x2 ((a,b) mà x1 2) f giảm trên (a,b) nếu với mọi x1, x2 ((a,b) mà x1f(x2).
3) x0 ((a,b) được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tạ đó f’(x) không xác định hay bằng 0.
II. Định lý:

Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b]và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại một điểm c((a,b) sao cho



Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a,b).
Nếu f’(x)>0
(x((a,b) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên (a,b).
Nếu f’(x)<0
(x((a,b) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên (a,b).
(Nếu f’(x) =0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a,b) thì định lý vẫn còn đúng).

CÁC BÀI TẬP:

Bài 1: Cho hàm số
.
a) Khảo sát hàm số khi m=1.
b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
c) Định m để hàm số giảm trên (1,4).

Bài 2: Cho hàm số

a) Tính y’’(1)
b) Xét tính đơn điệu của hàm số.

Bài 3: Cho hàm số

Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2.
Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1.
Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.

Bài 4: Chứng minh rằng
a) x > sinx (x ( (-π/2,π/2).
b)
.
c)
.
Bài 5 :  Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm :  



(2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU

A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định trên (a,b) và điểm x0 ((a,b) .
Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y= f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x0 ta có f(x) < f(x0) (x ≠ x0).
Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x0 ta có f(x)>f(x0) (x ≠ x0).

2. Điều kiện để hàm số có cực trị:
Định lý fermat: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm tại x0((a,b) và đạt cực trị tại điểm đó thì f’(x) = 0.
Định lí 1:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x0 (có thể trừ tại x0)
    a) Nếu f’(x0) > 0 trên khoảng (x0 ; x0); f’(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).
    b) Nếu f’(x) <0 trên khoảng (x0 - x0) ; f’(x)> 0 trên khoảng (x0; x0) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
    Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x0, đạo hàm đổi dấu thì điểm x0 là điểm cực trị.

    Định lí 2. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x0 và f’(x0) = 0, f``(xo)  0 thì xo là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa
1) Nếu f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
2) Nếu f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
Nói cách khác: