CHuyen de on thi HSG toan 8

TÍNH CHIA ĐÚNG CỦA CÁC SỐ NGUYÊN
SỐ NGUYÊN TỐ - BSCNN - USCLN
I. Tính chia hết của các số nguyên:
1. Định nghĩa:
a gọi là chia hết cho b khi nào đạt được ba điều kiện sau:
* a = bq (r = 0)
* a = kb (k là số nguyên, a là bội của b)
*
(k là số nguyên, b là ước của a)
Đặc biệt : Số 0 chia hết cho tất cả các số.

2. Tính chia hết:
a. Hai số a và a/ chia đúng cho d thì tổng của chúng cũng chia hết cho d.
Chứng minh :
Vì a = dq và a/ = dq/ nên a

Hệ quả: Một tổng đại số chia hết cho một số khi từng số hạng của tổng chia hết cho số đó.
b. Tích của nhiều số chia hết cho một số khi một thừa số của tích chia hết cho số đó.
Hệ quả:


c. Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m thì a + b và a – b đề không chia hết cho m. Nếu tổng hoặc hiệu hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m.

3. Qui ước: Chia hết: “
”
Không chia hết: “
”
Điều kiện chia hết:
a. Chia hết cho 2 và 5:
* Nhận xét: Số dư của phép chia một số nguyên cho 2 và 5 bằng số dư của phép chia chữ số cuối cùng bên phải số đó cho 2 và 5.




* Ta có điều kiện:
- Một số chia hết cho 2 hoặc 5 khi chữ số tận cùng chia hết cho2 hoặc 5.
- Một số chia hết cho 4 và 25 khi số hợp bởi hai chữ số tận cùng bên phải của số đó chia hết cho 4 và 25.
- Một số chia hết cho 8 và 125 khi số hợp bởi ba chữ số tận cùng bên phải của số đó chia hết cho 8 và 125.
- Một số vừa chia hết cho 2 và 5 thì chia hết cho 10.
- Một số vừa chia hết cho 4 và 25 thì chia hết cho 100
- Một số vừa chia hết cho 8 và 125 thì chia hết cho 1000.
b. Chia hết cho 3 và 9:
*. Nhận xét:
Số dư của phép chia một số nguyên cho 3 và 9 bằng số dư của phép chia tổng các chữ số của số đó cho 3 và 9.
Thật vậy: 10 = 9 = 1 = Bs9 + 1 = Bs3 + 1
100 = 99 = 1 = Bs9 + 1 = Bs3 + 1
10n = 99....9 + 1 = Bs9 + 1 = Bs3 + 1
Vì vậy một số
= 1000a + 100b + 10c + d =
= a(Bs9 + 1) + b(Bs9 + 1) + c(Bs9 + 1) + d
= aBs9 + a + bBs9 + b + cBs9 + c + d
= Bs9(a = b = c) + a = b = c = d = Bs9 + (a + b + c + d).
* Điều kiện:
Một số nguyên chia hết cho 3 và 9 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 và 9.
* Lưu ý:
- Một số chia hết cho 3 và 9 thì chia hết cho 18
- Một số chia hết cho 2 và 3 thì chia hết cho 6, chia hết cho 2 và 9 thì chia hết cho 18.
- Một số chia hết cho 3 và 5 thì chia hết cho 15, chia hết cho 5 và 9 thì chia hết cho 45.
c. Chia hết cho 11:
Trong một số nguyên N nếu gọi L là tổng các chữ số hàng lẻ (Kể từ phải sang trái) và C là tổng các chữ số hàng chẵn (Kể từ phải qua trái), thì số dư của phép chia N co 11 bằng số dư của hiệu (L – C) hay (C – L) ch 11.
Thật vậy: 102 = 99 + 1 = Bs11 + 1
104 = 999 + 1 = Bs11 + 1
102n = Bs11 + 1
Mặt khác: 102n+1 = 102n.10 = Bs11 – 1
Vì vậy nếu ta có số :



* Điều kiện:
Một số nguyên chia hết cho 11 khi hiệu của tổng các chữ số hàng