Chuyên đề KSHS lớp 12

LỜI NÓI ĐẦU
Nhằm mục đích nâng cao chất lượng dạy và học ở lớp học cuối cấp, mộ�t trong những kiến thức quan trọng của môn toán lớp 12 là giải bài toán khảo sát hàm số và các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số. Đáp ứng nhu cầu trên chuyên đề " Khảo sát hàm số" là một tài liệu cung cấp cho quý thầy cô về sơ đồ khảo sát hàm số(một số hàm số được giới hạn trong trường phổ thông)
Đồ�ng thời thống kê một số dạng bài tập liên quan đến khảo sát hàm số và cách giải đề nghị.
Mong rằng với chuyên đề này sẽ giúp ích cho quý thầy cô đồng nghiệp trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu đạt hiệu quả tốt hơn.
Mặc dù có nhiều cố gắng trong một thời gian nhất định, nhưng tất nhiên thiếu sót là điều không thể tránh khỏi. Mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô đồng nghiệp. Xin chân thành cảm ơn!
A. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
I. Sơ đồ khảo sát hàm số đa thức.
1. Tập xác định.
2. Sự biến thiên.
a) Tính y`. Tìm nghiệm y`=0 (nếu có).
b) Tính giá trị cực trị (nếu có): yCĐ, yCT.
c) Tìm các giới hạn ở vô cực: các cực trị, lim của y khi x(((
3. Lập bảng biến thiên.
(Dấu y`, chiều biến thiên, các cực trị, lim của y khi x((()
4. Tính lồi lõm và điểm uốn.
a) Tính y" và tìm nghiệm y"=0 (nếu có).
b) Xét dấu y" và suy ra các khoảng lồi, lõm và điểm uốn.
5. Điểm đặc biệt:
a) Chú ý các giao điểm với trục Ox, Oy.
b) Nên lấy vài điểm về hai phía của cực trị hoặc điểm uốn.
c) Tính đối xứng của đồ thị.
6. Vẽ đồ thị:
- Cực trị, điểm uốn, điểm đặc biệt (Tính đối xứng)
II. Sơ đồ khảo sát hàm số phân thức.
1. Tập xác định.
2. Sự biến thiên.
a) Tính y`. Tìm nghiệm y`=0 (nếu có).
b) Tính giá trị cực trị (nếu có): yCĐ, yCT.
3. Giới hạn và tiệm cận.
a) Giới hạn bên trái, bên phải giá trị mà tại đó hàm số không xác định (TCĐ
b) Tìm các giới hạn ở vô cực:
hoặc

( tiệm cận ngang hoặc tiệm cận xiên.
4. Lập bảng biến thiên.
(Giá trị không xác định, dấu y`, chiều biến thiên, các cực trị, giá trị vô cực)
5. Điểm đặc biệt:
a) Chú ý các giao điểm với trục Ox, Oy.
b) Tính đối xứng của đồ thị.
c) Nên lấy vài điểm về hai phía của cực trị hoặc hai nhánh của đồ thị.
6. Vẽ đồ thị:
- Các tiệm cận vẽ đường đứt nét, cực trị, điểm đặc biệt (Tính đối xứng)
Bài tập: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
1) y=x3-3x+2 2) y=2x3-4x2+6x-3
3) y=-x3+6x2-4 4) y=-x3-3x+4
5) y=
x3-x2+x+
6) y=x3+3x2+3x-5
7) y=x4-2x2-3 8)

9) y=x4+2x2+1 10) y=-x4-3x2
11)
12)

13)
14)

15)
16)

B. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ.
Bài toán 1: - Tìm tập xác định của hàm số.
Kn: - Tập xác định của hàm số y=f(x) là những giá trị x(R sao cho hàm số y=f(x) có nghĩa.
Các dạng hàm số thường gặp:










Bài tập: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1) y=x4-2x3-x+1 2) y=tanx
3)
4)

5)
6)

7)
8) y=e2x
Bài toán 2: Tìm tập giá trị của hàm số:
Cho hàm số y=f(x) có TXĐ là D. Tập giá trị T của f(x) là: T=f(D)={y(R|y=f(x),x (D}
Cg: - Có thể sử dụng phương pháp khảo sát hàm số, điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai, bất đẳng thức, điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác....
Bài tập: Tìm tập giá trị của hàm số sau:
1) y=x2-x+1 2) y=

3) y=
4)

5) y=sinx+cosx 6) y=tanx
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị.
Dạng 1: Cho đường cong (C): y=f(x) và M(x0; y0). Viết phương trình tiếp tuyến tại M(x0; y0) thuộc (C).
Cg: - Tính y`=f`(x) suy ra f`(x0).
- Thay vào công thức y- y0=f`(x0)(x- x0).
Dạng 2: - Cho đường cong (C): y=f(x). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc k đã biết.
Cg: - Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm.
- Giải phương trình: f`(x0)=k tìm x0.
- y0=f(x0), thay vào phương trình: y-y0 =k(x-x0 )
Chú ý:


Dạng 3: - Cho đường cong (C): y=f(x) và M(x0;y0). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tuyến đó đi qua M(x0; y0).
Cg: - Giả sử tiếp tuyến cần tìm có dạng: y=k(x- x0)+y0 (1). Khi đó hệ phương trình sau có nghiệm:

- Giải (2) tìm được k, có k thay vào (1)
Bài tập:
1) Cho hàm số y=f(x)=x3-3x. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(1;-2).
2) Cho hàm số y=x4-2x2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 2.
3) Cho hàm số y=-x4+x2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có tung độ bằng -2.
4) Cho hàm số
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y=-2x+3.
5) Cho hàm số
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y=-3x+4.
6) Cho hàm số y=x3-3x+2. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua M(1;-1)
Bài toán 4:
- Dùng đồ thị biện luận số nghiệm phương trình.
Cg: - Chuyển phương trình về dạng f(x)=((m). Trong đó (C):y=f(x) và (d): y= ((m).
- Số giao điểm của (C) và (d) là số nghiệm của phương trình đã cho.
Chú ý:
- Chọn các cực trị làm mốc biện luận.
- Đôi khi không thể đưa về dạng: f(x)=((m) mà có dạng: f(x)=ax+t(m). Khi đó ta biện luận dựa vào các tiếp tuyến // với (d): y=ax+t(m) của (C).
Bài tập:
Bài 1. Cho hàm số y=x3-3x+2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình x3-3x+2=m.
Bài 2. Cho hàm số y=x4-2x2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình: 2x2-x4+m-1=0.
Bài 3. Cho hàm số
. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình

Bài 4. Cho hàm số
. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình:
.
Bài toán 5:
- Dùng đồ thị giải bất phương trình.
Cg: - Đưa về dạng: f(x)>a, f(x) - Tìm hoành độ giao điểm của (C) với (d): y=a.
- Giá trị x tương ứng phần đồ thị nằm trên (d) thì f(x)>a, nằm dưới (d) thì f(x)Chú ý: Trong trường hợp a=0 thì đường thẳng (d) trùng với trục Ox.
Bài tập
Bài 1. Cho hàm số y=x3-3x+2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) giải bất phương trình: x3-2x+2>0.
Bài 2. Hàm số y=x4-2x2+1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) giải bất phương trình: x4-2x2+1>-2.
Bài 3. Cho hàm số y=-x3+6x2-4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) giải bất phương trình -x3+6x2-x-4=0.
Bài toán 6.
- Cho hai đường (C1 ): y=f(x), (C2): y=g(x)
- Biện luận theo m số giao điểm của (C1) và (C2).
Cg: - Số giao điểm của (C1) và (C2) là số nghiệm của phương trình f(x)=g(x) (*) .
Chú ý: - Loại các nghiệm của phương trình không thuộc tập xác định của phương trình (*).
Bài tập:
Bài 1. Cho hai hàm số y=x4-4x2+3 có đồ thị (C1) và y=x2-1 có đồ thị (C2). Tìm tọa độ giao điểm của (C1) và (C2).
Bài 2. Cho hai hàm số y=x3-x2+m có đồ thị (C1) và y=mx2 có đồ thị (C2). Biện luận theo m số giao điểm của (C1) và (C2).
Bài 3. Cho hàm số
có đồ thị (C) và y=x-m có đồ thị (d). Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (d).
Bài toán 7: - Chứng minh hai tiếp tuyến vuông góc nhau.
Cg: - Ta chứng minh tích hệ số góc bằng -1.
Bài tập:
Bài 1. Cho hàm số
. Chứng minh rằng qua A(
;0) có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau.
Bài 2. Cho hàm số y=
(x-3)2+1 và M(a;0). Chứng minh rằng từ A, có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau.
Bài toán 8: - Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường.
Dạng 1: - Giới hạn bởi (C), x=a, x=b và trục Ox (aCg:



Lưu ý: Trên mỗi khoảng nghiệm có thể lấy nguyên hàm trong dấu giá trị tuyệt đối.
Dạng 2: - Giới hạn bởi (C): y=f(x) và đường thẳng y=ax+b.
Cg:



Dạng 3: - Giới hạn bởi hai đường cong (C1): y=f(x) và (C2): y=g(x).
Cg:



Lưu ý:
- Ngoài ra còn có nhiều dạng bài tập có yêu cầu tương tự, tùy vào từng bài ta có cách giải cụ thể.
Bài tập:
Bài 1. Cho hàm số y=x4-2x2.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox.
Bài 2. Cho hàm số y=x3-3x+2.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng y=-3x-6, trục Oy.
Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau:
a) y=x3+3x2-2x+1 và y=x3+x2+4.
b) y=x4-2x2+5 và y=7x+5.
Bài toán 9: - Chứng minh điểm I(x0; y0) là tâm đối xứng của (C): y=f(x).
Cg: - Áp dụng công thức đổi trục:
- Thay vào phương trình của (C) và đưa về dạng Y=F(X).
- Chứng minh Y=F(X) là hàm số lẻ.
Bài tập:
Bài 1. Chứng minh hàm số y=x3-3x+1 nhận điểm I(0;1) làm tâm đối xứng.
Bài 2. Chứng minh rằng hàm số bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Bài 3. Cho hàm số
. Chứng minh rằng hàm số có tâm đối xứng là I(-2;-2).
Bài 4. Cho hàm số
. Chứng minh rằng hàm số nhận điểm I(1;3) làm tâm đối xứng.
Bài 5. Chứng minh rằng hàm số
nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
Bài 6. Chứng minh rằng hàm số
nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
Bài toán 10: Tìm tâm đối xứng của (C): y=f(x).
Cg: - Go