Chuyên đề : Giải bài toán bằng cách lập PT, Hệ PT

Chào mừng quý thầy, cô đến dự CHUYÊN ĐỀ hôm nay!
TỔ TOÁN - VẬT LÍ.
TRƯỜNG T. H. C. S HÀM NGHI. T.P. BMT
Thực hiện :
Trần Thanh Sơn
Hoàng Minh Bút
Tổ Toán - Vật lí
Trường THCS Hàm Nghi
Chào mừng Quý Thầy cô
đến tham dự Chuyên đề
Thực hiện : Trần Thanh Sơn - Hoàng Minh Bút - Giáo viên Toán, Tổ Toán Lí - Trường THCS Hàm Nghi
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH

LẬP PHƯƠNG TRÌNH & HỆ P.T
CHUYÊN ĐỀ
TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC KỲ II (VÀO TRƯỜNG T.H.P.T ), GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, H? PHUONG TRÌNH LÀ MỘT NỘI DUNG KHÔNG THỂ THIẾU.
CHUYÊN ĐỀ NÀY LÀ MỘT CHUYÊN ĐỀ MANG TÍNH " CHIẾN LƯỢC " TRONG " VI?C" ÔN THI CHO CÁC EM HỌC SINH KH?I LỚP 8 & 9.
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chuơng trình Đại số lớp 8 & 9, có dạng bài:
" Giải bài toán bằng cách lập phương trình, h? phuong trình"
Đối với bài toán: “Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình” có rất nhiều dạng toán khác nhau như: Toán tìm số, chữ số; toán chuyển động; toán năng suất; toán làm chung, làm riêng…. Mỗi một dạng toán đều có những đặc thù riêng và dẫn đến những lập luận, cách thức phân tích khác nhau.
CÁC DẠNG TOÁN GIẢI BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH , HỆ PHƯƠNG TRÌNH
THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Toaùn tìm caùc ñaïi löôïng (có nội dung số học)
Dạng 2: Toán tìm soá
Dạng 3: Toán chuyển đñộng
Dạng 4: Toán laøm việc (năng suất)
Dạng 5: Toán coù nội dung hình học
Dạng 6: Toaùn coù nội dung vật lí, hoaù học
Dạng 7: Toaùn phần trăm
Khi giảng dạy đến bài
" Giải bài toán bằng cách lập phương trình, h? phuong trình" đa số giáo viên đều gặp một thực tế là :
1. Học sinh thường lúng túng trong việc hiểu và diễn đạt các
từ ngữ trong đề toán.
2. Học sinh gặp nhiều khó khăn khi chuyển từ ngôn ngữ bình
thường sang ngôn ngữ toán học.
3. Các kiến thức cũ liên quan đến đề toán hầu như đã quên hết
hoăc nắm không chắc chắn. Ví dụ như những công thức về
chuyển động , về hình học , về số học, vv.
4. Học sinh thường có biểu hiện cảm giác sợ và ngán những dạng toán mà các em hay gọi là "toán đố" vì khi ở cấp học dưới thì những bài toán này là những bài toán khó khi giải theo phương pháp suy luận , giả sử , giả thiết tạm, vv . .
5. Do lần đầu tiếp xúc với dạng toán này nên các em chưa có kinh nghiệm. Mới làm quen mà sách giáo khoa cấp T.H.C.S đã cho những ví dụ và bài tập khá "hóc búa" nên các em dễ sinh ra chán nản khi không làm được bài tập.
Trước thực tế như vậy, chúng tôi luôn suy nghĩ để tìm cách giúp các em tháo gỡ dần những vấn đề nan giải đã nêu ở trên thông qua những biện pháp cụ thể sau :
BIỆN PHÁP
1. Bổ sung một số kiến thức cơ bản về hình học như các công thức tính chu vi, diện tích , hệ thức Pitago., một số công thức về chuyển động như việc tính vận tốc, thời gian, quãng đường , một số công thức về năng suất, kế hoạch, thời gian hoàn thành công việc, một số kiến thức về số học như biễu diễn giá trị của số theo các chữ số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, vv.
2. Động viên các em cố gắng diễn đạt và hiểu được các từ ngữ trong đề toán và chuyển chúng sang ngôn ngữ đại số dưới dạng các biểu thức đại số.
3. Luôn lắng nghe và thấu hiểu, giải quyết vấn đề ngại khó khi làm bài tập dạng này cho các em.
4. Phân loại được các dạng toán cơ bản, sắp xếp các bài tập trong mỗi dạng từ dễ đến khó và có những bài tập tương tự cho các em luyện tập.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Trong chuyên đề này , chúng tôi nêu cách giải quyết những vấn đề đã nêu trên thông qua phương pháp:
"PHƯƠNG PHÁP LẬP BẢNG"
Cho các em thực hiện theo các bước sau :
Bước 1.
Xác định dạng toán và xác định các đại lượng liên quan có trong dạng này. Ví dụ khi gặp bài toán về chuyển động đều, chúng ta cần xác định các đại lượng là vận tốc, thời gian, quãng đường đi được.
Bước 2.
Xác định các đối tượng tham gia. Ví dụ như toán chuyển động thì có xe đạp, xe máy, ôtô . hoặc là các tình huống chuyển động như khi đi , khi về , v v.
Bước 3
Lập bảng với các cột là các đối tượng, các dòng là các đại lượng liên quan (hoặc ngược lại).
Bước 4
Điền vào các ô trống những đại lượng đã biết cụ thể .
Bước 5
Đặt ẩn vào một ô ( ho?c hai ô, thông thường là đại lượng cần tìm nêu trong câu hỏi bài toán ) và biểu diễn các ô còn lại bằng giá trị đã cho trong đề bài và các biểu thức liên quan với ẩn (chú ý đến đơn v� nếu có của đề bài).
Bước 6
Dựa vào đề bài để tìm hệ thức liên hệ giữa các biểu thức trong 2 ô còn lại. Hệ thức chứa ẩn này chính là phương trình ( h? phuong trình ) cần lập để giải.
Bước 7
Trình bày lời giải bài toán theo cách ghi lại những gì đã ghi trong các ô của bảng theo một thứ tự bắt đầu từ ô chứa ẩn.
Bước 8
Thử lại k?t qu? c?a bài toán và tr? l?i.
NHẮC LẠI KIẾN THỨC
CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH , HỆ PHƯƠNG TRÌNH .
Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình)
- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn (đơn vị nếu có).
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình) nói trên.
Bước 3: Trả lời:
- Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình (hệ phương trình), nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
C. NỘI DUNG CỤ THỂ
Trong phần nội dung sau, xin nêu một số ví dụ với các dạng toán thường gặp :
Các dạng toán cơ bản
Tìm các đại lượng
Chuyển động
Hình học
Công việc
Tìm số
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. Xác định dạng đề toán
2. Đặt các câu hỏi gợi ý
3. Lập bảng dựa vào các đối tượng
4. Tìm hệ thức liên hệ
5. Trình bày lời giải
6. Thử lại kết quả
CÁC CÂU HỎI GỢI Ý
2. Đề bài yêu cầu tìm đại lượng nào ?
3. Các đại lượng nào liên quan với ẩn ?
1. Xác định các đại lượng đã biết ?
4. Các đại lượng được xác định ở câu 3 liên hệ với nhau như thế nào ?
Đặt ẩn x, (y) là ?
Biểu diễn các đại lượng đó theo x, (y) và các đại lượng đã biết ?
Lập hệ thức (hoặc hai hệ thức) liên hệ ?
Bài toán c?
Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn
Hỏi có bao nhiêu chó, bao nhiêu gà ?

D?t v?n đ? :
D? gi?i bài toán này ở lớp dưới ta ph?i dùng phuong pháp gi? thi?t t?m.
Ta có th? gi?i bài toán này bằng phuong pháp khác đó là phương pháp: " lập phương trình (hệ phương trình)" .
Bài giải
Giả sử tất cả đều là số gà, vậy số chân gà là: 36 . 2 = 72 (chân).
So với đề bài số chân còn thiếu : 100 - 72 = 28 (chân).
Số chân thiếu là do chó có 4 chân, mà ta chỉ cho có 2 chân.
Suy ra số chó là: 28 : 2 = 14 (con).
Vậy số gà là: 36 - 14 = 22 (con).
Thử lại: 4 .14 + 2 . 22 = 100 (chân)
Để có được cái nhìn tổng quát về sự tương quan của các đại lượng. Ta có thể tóm tắt bài toán bằng cách lập bảng biểu thị các đại lượng có trong đề bài, thông qua các ví dụ minh hoạ sau:
Giới thiệu cho học sinh: Với một bài toán đố, người giải sẽ gặp nhiều khó khăn khi sử dụng phương pháp giả thiết tạm (hoặc một số phương pháp khác thường dùng ở tiểu học: như phương pháp suy luận, giả sử v, v .). Người ta đã lợi dụng vào phương trình hoặc hệ phương trình để "dễ dàng" tìm ra lời giải cũng như đáp số của bài toán cụ thể được đặt ra.
DẠNG 1:
Tìm các đại lượng
Bài toán 1:
Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn
Hỏi có bao nhiêu chó, bao nhiêu gà ?
Câu hỏi gợi ý
1. Đề bài yêu cầu tìm điều gì ? (- Tìm số gà và số chó. Đặt ẩn x là ?) .
2. Tổng số con vật ? (- Có tổng là 36 con) .
3. Các đại lượng liên quan với ẩn ? (- Số chân gà , số chân chó) .
4. Số chân gà và số chân chó liên hệ với nhau như thế nào? (- Có tổng là 100 chân) .
Hệ thức liên hệ :
Tổng số chân gà và chân chó là 100 chân
x
2x
36 - x
4(36 - x)
Câu hỏi gợi ý 1:
* Tổng số con vật là 36 con (chọn ẩn cho gà hoặc chó, biểu thị số con vật còn lại thông qua ẩn đã chọn) .
x
36 - x
2x
4(36 - x)
2x + 4(36 - x) = 100
Câu hỏi gợi ý 3:
* Số chân gà và số chân chó có tổng là 100 chân, hệ thức liên hệ ?
Lập bảng ?
Câu hỏi gợi ý 2:
* Viết biểu thức liên quan đến ẩn của số chân gà và chó.
Bài giải
Gọi số gà là x (con). ĐK: x nguyên dương, x < 36.
Số chó là: 36 - x (con)
Số chân gà: 2x (chân)
Số chân chó: 4(36 - x) (chân)
Theo đề bài ta có phương trình:
2x + 4(36 - x) = 100
? 2x + 144 - 4x = 100
? 2x = 44
? x = 22 (nhận)
Vậy số gà là 22 con, số chó là 36 - 22 = 14 (con)
Thử lại: 2x + 4(36 - x) = 2.22 + 4.14 = 100 (chân)
x
y
2x
4y
Bài giải
Gọi số gà là x (con). Điều kiện x nguyên dương; x < 36
Số chó là y (con). Điều kiện y nguyên dương; y < 36
Theo đề bài ta có phương trình: x + y = 36 (1)
Số chân gà: 2x (chân).
Số chân chó: 4y (chân)
Theo đề bài ta có phương trình: 2x + 4y = 100 (2)
T? (1) & (2), ta có h? phương trình:
Vậy số gà là 22 con, số chó là 14 (con)
L?p h? phương trình ?
* H? thức liên h? :
* H? thức liên h? :
x + y = 36 (1)
2x + 4y = 100 (2)
Thử lại: 2x + 4(36 - x) = 2.22 + 4.14 = 100 (chân)
x
3x
x + 13
3 x + 13
Bài toán 2 : Năm nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương. Phương tính rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi Phương thôi. Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi ?
13 năm nữa thì tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi Phương
Hệ thức liên hệ :
3x + 13 = 2(x + 13)
Câu hỏi gợi ý 1: Bài toán yêu cầu điều gì ? (- Tìm tuổi Phương năm nay) .
Câu hỏi gợi ý 3: Tuổi của mẹ so với tuổi Phương năm nay ? (Đặt ẩn x là ? chọn ẩn cho tuổi của mẹ hoặc tuổi Phương năm nay , biểu thị tuổi của nhân vật còn lại thông qua ẩn đã chọn).
Câu hỏi gợi ý 4: Sau 13 năm tuổi của mẹ và tuổi Phương như thế nào?
Câu hỏi gợi ý 5: Sau 13 năm tuổi của mẹ so với tuổi Phương như thế nào, hệ thức liên hệ ?
Câu hỏi gợi ý 2: Ngoài ra đề bài còn nói về vấn đề gì khác? ( Tuổi của mẹ so với tuổi Phương sau 13 năm). Lập bảng?
Bài giải
Gọi tuổi của Phương năm nay là x (tuổi). ĐK: x nguyên dương.
Tuổi của mẹ Phương năm nay là 3x (tuổi).
Tuổi của Phương sau 13 năm nữa là x + 13 (tuổi)..
Tuổi của mẹ Phương sau 13 năm nữa là: 3x + 13(tuổi).
Vì sau 13 năm tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi Phương .
Ta có phương trình: 3x + 13 = 2(x + 13)
? 3x + 13 = 2x + 26
? 3x - 2x = 26 - 13
? x = 13 (nhận)
Vậy tuổi của Phương năm nay là: 13 tuổi.
Thử lại: Tuổi của Phương sau 13 năm nữa là: 26 tu?i ; tuổi của mẹ Phương sau 13 năm nữa là: 3x + 13 = 3.13 + 13 = 52.
(52 : 26 = 2)
Tuổi Phương
Tuổi mẹ
Năm nay
13 năm nữa
x
x + 13
y
y + 13
Bài giải
Gọi tuổi của Phương năm nay là x (tuổi).
ĐK: x nguyên dương.
Tuổi của mẹ Phương năm nay là y (tuổi),
ĐK: y nguyên dương, y > x.
Theo đề bài ta có phương trình: y = 3x (1)
Tuổi của Phương sau 13 năm nữa là x + 13 (tuổi).
Tuổi của mẹ Phương sau 13 năm nữa là: y + 13 (tuổi).
Theo đề bài ta có phương trình: y + 13 = 2(x + 13) ? y - 2x = 13 (2)
T? (1) & (2), ta có h? phương trình:
Vậy tuổi của Phương năm nay là 13 tuổi.
L?p h? phương trình?
Hệ thức liên hệ: y = 3x (1)
Hệ thức liên hệ:
y + 13 = 2(x +13) (2)
Bài toán 3 (B�i tốn c?)
Qu�t, cam mu?i b?y qu? tuoi
Dem chia cho m?t tram ngu?i c�ng vui.
Chia ba m?i qu? qu�t r?i
Cịn cam m?i qu? chia mu?i v?a xinh.
Tram ngu?i, tram mi?ng ng?t l�nh
Qu�t, cam m?i lo?i tính r�nh cho ra.
Câu hỏi gợi ý:
* Chọn ẩn cho quýt hoặc cam (biểu thị cho số trái cây còn lại thông qua ẩn đã chọn).
* Có bao nhiêu phần quýt, bao nhiêu phần cam?
x
17 - x
3x
10 (17 - x)
Hệ thức liên hệ :
3x + 10(17 - x) = 100
Bài giải
Gọi quýt là x (quả). ĐK: x nguyên dương, x < 17.
Số cam là 17 - x (quả).
Số phần quýt: 3x (phần).
Số phần cam: 10 (17 - x) (phần).
Vì tổng số phần chia là 100. Ta có phương trình:
3x + 10 (17 - x) = 100
? 3x + 170 - 10x = 100
? 7x = 70 ? x = 10 (nhận)
Vậy quýt là 10 (quả) , số cam là 17 - 10 = 7 (quả).
Thử lại: Số phần quýt: 3x = 3.10 = 30 (phần,. số phần cam: 10.7 = 70 (phần). Tổng số phần chia: 30 + 70 = 100.
x
y
3x
10 y
Hệ thức liên hệ :
x + y = 17 (1)
Bài giải
Gọi số quýt là x (quả). ĐK: x nguyên dương, x < 17.
Số cam là y (quả). ĐK: y nguyên dương, y < 17.
Số phần quýt: 3x (phần).
Số phần cam: 10y (phần).
Tổng số phần chia là 100, ta có phương trình: 3x + 10y = 100 (2)
Hệ thức liên hệ :
3x + 10y = 100 (2)
Tổng số cam và quýt 17 quả, ta có phương trình : x + y = 17 (1)
T? (1) & (2), ta có h? phương trình:
Vậy số quýt là 10 (quả) , số cam là 7 (quả).
Bài toán 4 : Trong một phòng họp có 360 ghế được xếp thành các dãy và số ghế của mỗi dãy ghế đều bằng nhau. Có một lần phòng họp phải xếp thêm 1 dãy và mỗi dãy tăng 1 ghế (số ghế trong các dãy v?n bằng nhau) để đủ cho 400 đại biểu. Hỏi bình thường trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế ?
x
x + 1
Hệ thức liên hệ :
Câu hỏi gợi ý 1:
* Bài toán yêu cầu tìm điều gì? (- Tìm số dãy ghế ban đầu của phòng họp) .
* Chọn ẩn cho số dãy ghế ban đầu của phòng họp?
* Đề bài còn nói đến đại lượng nào khác? (- Số dãy ghế tăng lên và số ghế của mỗi dãy tăng lên của phòng họp) .
* Lập bảng?
Câu hỏi gợi ý 2:
* Biểu thị cho số dãy ghế sau khi tăng theo ẩn?
Câu hỏi gợi ý 3:
* Biểu thị số ghế của một dãy ban đầu của phòng họp?
* Biểu thị số ghế của một dãy sau khi tăng thêm một dãy ghế của phòng họp?
Câu hỏi gợi ý 4: Dựa vào ý nào để biểu thị hệ thức liên hệ? (- Mỗi dãy tăng 1 ghế) .
Bài giải
Gọi số dãy ghế c?a phòng họp là x (dãy) . Điều kiện:
Số ghế c?a mỗi dãy là: (gh?).
Số dãy ghế sau khi xếp thêm là: x + 1 (dãy).
Số ghế c?a mỗi dãy sau khi xếp thêm là: (gh?).
Vì mỗi dãy tăng thêm 1 ghế, ta có phương trình:
? 400x - 360x + 360 = x2 + x
? x2 - 39x + 360 = 0
Suy ra : x1 = 15 (nhận);
x2 = 24 (nhận)
Vậy số dãy ghế c?a phòng họp là: 15 (dãy) ho?c 24 (dãy)
Thử lại: 15 + 1 = 16, 400 : 16 = 25, so v?i 360 : 15 = 24, (mỗi dãy tăng thêm 1 ghế).
Thử lại: 24 + 1 = 25, 400 : 25 = 16, so v?i 360 : 24 = 15, (mỗi dãy tăng thêm 1 ghế).
Bài toán 5: Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất được 800 chi tiết máy. Tháng thứ hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt 20%, do đó cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy. Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy ?
x (chi tiết máy)
Hệ thức liên hệ :
800 - x (chi tiết máy)
(chi tiết máy)
(chi tiết máy)
Câu hỏi gợi ý: Tính xem trong tháng thứ hai cả hai tổ đã vượt được bao nhiêu chi tiết máy ?
Tính số chi tiết máy đã vượt của mỗi tháng theo ẩn ?
Số vượt mức ở tháng thứ hai
Bài giải
Gọi số chi tiết máy tổ I làm được ở tháng đầu là x (chi tiết) .
Điều kiện:
Số chi tiết máy tổ II làm được ở tháng đầu là (800 - x) (chi tiết).
Số chi tiết máy tổ I làm vượt ở tháng thứ hai là: (chi tiết).
Số chi tiết máy tổ II làm vượt ở tháng thứ hai là: (chi tiết).
Ta có phương trình:
Tổng số chi tiết máy vượt là: 945 - 800 = 145 (chi tiết).
? 0,15x + 0,2(800 - x) = 145
? 0,15x + 160 - 0,2x = 145
? 0,05x = 15 ? x = 300 (nhận)
Vậy số chi tiết máy tổ I làm được ở tháng đầu là 300 (chi tiết).
Số chi tiết máy tổ II làm được ở tháng đầu là:
800 - 300 = 500 (chi tiết).
x (chi tiết máy)
Hệ thức liên hệ :
y (chi tiết máy)
(chi tiết máy)
(chi tiết máy)
x + y = 800 (1)
Hệ thức liên hệ :
Bài giải
Gọi số chi tiết máy tổ I làm được ở tháng đầu là x (chi tiết) .
Điều kiện:
Số chi tiết máy tổ II làm được ở tháng đầu là y (chi tiết).
Điều kiện:
Ta có phương trình:
Số chi tiết máy tổ I làm vượt ở tháng thứ hai là: (chi tiết).
Số chi tiết máy tổ II làm vượt ở tháng thứ hai là: (chi tiết).
Tổng số chi tiết máy vượt là: 945 - 800 = 145 (chi tiết).
Ta có phương trình: x + y = 800 (1)
T? (1) & (2), ta có h? phương trình:
Vậy số chi tiết máy tổ I làm được ở tháng đầu là 300 (chi tiết) , t? II làm được ở tháng đầu là 500 (chi ti?t).
Bài toán 6: M�t x��ng may ph�i may xong 3000 �o trong m�t th�i gian quy ��nh. �Ĩ ho�n th�nh sím k� ho�ch, m�i ng�y x��ng �� may ��ỵc nhiỊu h�n 6 �o so víi s� �o ph�i may trong m�t ng�y theo k� ho�ch. V� th� 5 ng�y tr�íc khi h�t h�n, x��ng �� may ��ỵc 2650 �o. H�i theo k� ho�ch, m�i ng�y x��ng ph�i may xong bao nhi�u �o?
3000
2650
x
x + 6
Hệ thức liên hệ : - = 5
Câu hỏi gợi ý: Tìm xem thời gian may 3 000 áo theo kế hoạch? Và may 2 650 áo theo thực hiện?
Câu hỏi gợi ý: Thời gian may theo kế hoạch so với thời gian may khi thực hi?n ? Hệ thức liên hệ?
Bài giải
Gọi s� �o ph�i may trong m�t ng�y theo k� ho�ch là x (�o) .
Điều kiện:
Số s� �o may trong m�t ng�y khi th�c hiƯn là x + 6 (�o) .
Th?i gian may 3000 áo là: (ngày).
Th?i gian may 2650 áo là: (ngày).
Vì may xong trước thời hạn 5 ngày. Ta có phương trình:
? 3 000x + 18 000 - 2 650x = 5x2 + 30x
? 5x2 - 320x - 18 000 = 0
? x2 - 64x - 3 600 = 0
Suy ra : x1 = 100 (nhận); x2 = - 36 (loại)
Vậy áo may trong một ngày theo kế hoạch là 100 (áo)
Bài toán 1 : M?u số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và m?u của nó thêm 2 đơn vị thì được phân số bằng . Tìm phân số ban đầu.
x
x + 3
x + 2
x + 3 + 2 = x + 5
Hệ thức liên hệ :
Tìm số
DẠNG 2:
Bài giải
Gọi t? số c?a phân s? c?n tìm là x . Điều kiện:
M?u số của phân số c?n tìm là: y. Điều kiện:
Phân số c?n tìm là:
Ta có phương trình:
? 2 (x +2) = x + 5
? 2x - x = 5 - 4 ? x = 1 (nhận)
Vậy phân số c?n tìm là:
Phân số m?i:
Thử lại: m?u số : 4 , t? số : 1, (4 - 1 = 3, 4 lớn hơn 1 là 3 đơn vị).
T? số c?a phân s? m?i là: x + 2 .
M?u số c?a phân s? m?i là: y + 3 .
Phân số m?i là:
x
y
x + 2
y + 2
Hệ thức liên hệ :
Hệ thức liên hệ :
y - x = 3 (1)
L?p h? phương trình?
Bài giải
Gọi t? số c?a phân s? c?n tìm là x . Điều kiện:
M?u số của phân số c?n tìm là y. Điều kiện:
Phân số c?n tìm là:
Ta có phương trình:
T? số c?a phân s? m?i là: x + 2 .
M?u số c?a phân s? m?i là: y + 2 .
Phân số m?i là:
M?u số c?a phân s? l?n hon t? s? 3 đon v?.
Ta có phương trình: y - x = 3 (1)
T? (1) & (2), ta có h? phương trình:
Vậy phân số c?n tìm là:
Bài toán 2:
Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục. Nếu thêm chữ số 1 xen giữa hai chữ số ấy thì ta được một số mới lớn hơn số đã cho là 370. Tìm số ban đầu ?
Câu hỏi gợi ý:
1. Đề bài yêu cầu tìm đại lượng nào ? - Tìm chữ số hàng chục và hàng đơn vị. Đặt ẩn x là ? (x là chữ số hàng chục).
2. Các đại lượng liên quan với ẩn ? - Chữ số hàng đơn vị ban đầu , lúc sau .
3. Tính giá trị số ban đầu và số mới theo ẩn x.
4. Liên hệ giữa số mới và số ban đầu ? - Số mới hơn số ban đầu 370 đơn vị .
KIẾN THỨC BỔ TRỢ
Số ban đầu
Chữ số hàng đơn vị
Số mới - Số ban đầu = 370
Số mới
Chữ số hàng chục
= 2 (Chữ số hàng chục)
Giá trị của số
= 10 (Chữ số hàng chục)
+ Chữ số hàng đơn vị
Chữ số hàng đơn vị
Chữ số hàng chục
= Chữ số hàng đơn vị của số ban đầu
Giá trị của số
= 100 (Chữ số hàng trăm)
+ Chữ số hàng đơn vị
Chữ số hàng trăm
+ 10
= Chữ số hàng chục của số ban đầu
= 1
Hướng dẫn Học sinh
Hệ thức liên hệ: 100x + 10 + 2x - (10x + 2x) = 370
Số mới hơn số ban đầu 370 đơn vị
Không có
2x
10x + 2x
x
x
2x
100x + 10.1 + 2x
Hệ thức liên hệ ?
1
Hay 102x + 10 - 12x = 370
Bài giải
Gọi chữ số hàng chục là x . Điều kiện:
Chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục là: 2x.
Số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là: 10x + 2x = 12x.
Nếu thêm chữ số 1 xen giữa hai chữ số ấy thì ta được một số mới có ba chữ số là: 100x + 10 + 2x = 102x + 10.
Vì số mới lớn hơn số đã cho là 370. Ta có phương trình:
102x + 10 - 12x = 370
? 102x - 12x = 370 - 10
? 90x = 360
? x = 4 (nhận)
Vậy số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là: 12x = 12.4 = 48.
Số mới có ba chữ số là: 418, (418 - 48 = 370, 418 lớn hơn 48 là 370 đơn vị).
Thử lại: số có hai chữ số : 48, (8 : 4 = 2, 8 lớn hơn 4 là 2 đơn vị).
Bài giải
Gọi chữ số hàng chục là x . Điều kiện:
Chữ số hàng đơn vị là y. Điều kiện:
Theo đề bài ta có phương trình: y = 2x (1)
Số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là: 10x + y .
Nếu thêm chữ số 1 xen giữa hai chữ số ấy thì ta được một số mới có ba chữ số là: 100x + 10 + y .
Vì số mới lớn hơn số đã cho là 370. Ta có phương trình:
100x + 10 + y - (10x + y) = 370 ? 90x = 360 ? x = 4 (2)
T? (1) & (2), ta có h? phương trình:
Vậy số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là: 48.
x
y
10x + y
x
1
y
100x + 10 + y
Không có
L?p h? phương trình?
Bài toán 3 : Cho một số tự nhiên có hai ch? số. Tổng của chúng bằng 10. Tích hai ch? số ấy nhỏ hơn số d� cho là 12. Tìm số đ� cho?
Số đ� cho
Ch? số hàng chục
Ch? số hàng đơn vị
x
10 - x
Bài giải
Gọi chữ số hàng chục là x .
Điều kiện:
Chữ số hàng đơn vị là: 10 - x .
Tích hai ch? số hàng chục và hàng đơn vị nhỏ hơn số d� cho là 12.
Ta có phương trình:
x (10 - x) = 9x + 10 - 12
Giá trị số d� cho là:
10x + 10 - x = 9x + 10
? 10x - x2 = 9x - 2
? x2 - x - 2 = 0
Ta có: a - b + c = 1 + 1 - 2 = 0
Suy ra : x1 = - 1 (loại); x2 = 2 (nhận)
Vậy số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là: 28
Thử lại: số có hai chữ số : 28
(2 . 8 = 16, nhỏ hơn số 28 là 12).
DẠNG CHUYỂN ĐỘNG
Ba đại lượng
Quãng đường
Vận tốc
Thời gian
DẠNG 3 :
Chuyển động
Bài toán 1 :
Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Lúc về xe đi với vận tốc 60 km/h. Tính quãng đường AB. Biết thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút .
Câu hỏi gợi ý
Đề bài yêu cầu tìm đại lượng nào ? - Quãng đường AB (x là quãng đường AB).
Các đại lượng liên quan với ẩn ? - Thời gian đi, thời gian về.
Liên hệ giữa thời gian đi và về ? - Thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút.
KIẾN THỨC BỔ TRỢ
Hệ thức liên hệ :
Thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút = 1/3 giờ.
Hay hệ thức liên hệ :
x
x
50
60
Bài giải
Gọi quãng đường AB là x (km); Điều kiện x > 0.
Thời gian đi từ A đến B là:
Thời gian về từ B đến A là:
Ta có phương trình:
? 6x - 5x = 100 ? x = 100 (nhận)
Vậy quãng đường AB là 100 km.
Chú ý :
Bài toán này có thể đặt ẩn x là thời gian lúc đi (hoặc lúc về).
Thử lại: thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút .
Hệ thức liên hệ :
Thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút = 1/3 giờ.
Hệ thức liên hệ :
50x
60y
50
60
Bài giải
Gọi thời gian đi từ A đến B là x (h) ; Đ. K: x > 0,
Thời gian về từ B đến A là y (h) ; Đ. K: y > 0.
Quãng đường AB là 50x (km) , 60y (km)
Ta có phương trình: 50x = 60y (1)
Thời gian về ít hơn thời gian đi
Ta có phương trình:
T? (1) & (2), ta có h? phương trình:
Thử lại: thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút:
Vậy quãng đường AB là 50x = 50.2 = 100 (km)
Bài toán 2 :
Một xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Lúc về xe đi với vận tốc 40 km/h. Tính quãng đường AB. Biết thời gian cả đi lẫn về là 7 giờ.
Câu hỏi gợi ý
Đề bài yêu cầu tìm đại lượng nào ? - Quãng đường AB (x là quãng đường AB).
Các đại lượng liên quan với ẩn ? - Thời gian khi đi , khi về.
Liên hệ giữa thời gian đi và về ? - Tổng thời gian đi và về là 7 giờ.
KIẾN THỨC BỔ TRỢ
Hệ thức liên hệ :
Tổng thời gian đi và về là 7giờ.
x
x
30
40
Giải phuong trình:
H? phuong trình: tuong t? bài toán 1
Bài toán 3 :
Một người đi xe đạp đi từ Sài Gòn đến Vũng Tàu , cùng lúc đó một người đi ngựa từ Vũng Tàu về Sài Gòn và hai người gặp nhau sau 2giờ 30 phút. Tìm vận tốc của xe và ngựa, biết mỗi giờ ngựa đi nhanh hơn xe đạp 10 km và quãng đường Sàigòn - Vũng Tàu dài 125 km.
Vũng Tàu
Sài Gòn
Câu hỏi gợi ý
Đề bài yêu cầu tìm đại lượng nào ? - Vận tốc xe đạp và ngựa
( x là vận tốc xe đạp )
2. Các đại lượng liên quan với ẩn ? - Vận tốc ngựa , quãng đường xe đạp và ngựa đi được sau 2 giờ 30 phút ( 2,5 giờ )
3. Liên hệ giữa quãng đường xe và ngựa đi được ? - Tổng quãng đường xe và ngựa đi là 125 km
125km

Chú ý :
Trong bài này chú ý cho các em biết quãng đường 125 km trong đề bài không được điền vào ô "Quãng đường" vì xe và ngựa đi ngược và chiều gặp nhau nên xe và ngựa chưa đi hết quãng đường Sài gòn - Vũng tàu. Đổi 2 giờ 30 phút = 2,5 giờ.
Hệ thức liên hệ : 2,5x + 2,5(x + 10) = 125
S xe đạp + S ngựa = S ( SG - VT )
x
x + 10
2,5
2,5x
2,5
2,5(x + 10)

Bài giải
2giờ 30 phút = 2,5 giờ
? 2,5x + 2,5x + 25 = 125 ? 5x = 125 - 25
? 5x = 100 ? x = 20 (thỏa mãn điều kiện)
Gọi vận tốc xe đạp là x (km/h); Điều kiện x > 0
Vận tốc ngự�a là x + 10 (km/h)
Quãng đường ngự�a đi được: 2,5(x + 10) (km)
Quãng đường xe đạp đi được: 2,5x (km)
Ta có phương trình: 2,5x + 2,5(x + 10) = 125
Vậy vận tốc xe đạp là : 20 (km/h)
Vận tốc ngự�a là : 20 + 10 = 30 (km/h)
Thử lại: Quãng đường xe đạp đi: 2,5. 20 = 50(km).
Quãngđường ngự�a đi: 2,5. 30 = 75(km).
Tổng quãng đường xe và ngựa đi là: 50 + 75 = 125 (km).


Hệ thức liên hệ : y - x = 10 (1)
v ngựa > v xe đạp 10km/h
s xe đạp + s ngựa = s ( SG - VT )
Hệ thức liên hệ : 2,5x + 2,5y = 125 (2)
2,5
2,5
x
y
2,5x
2,5y

Bài giải
2giờ 30 phút = 2,5 giờ.
Gọi vận tốc xe đạp là x (km/h); Điều kiện x > 0.
Vận tốc ngựa là y (km/h); Điều kiện y > 0.
Vận tốc ngựa lớn hơn vận tốc xe đạp 10(km/h).
Ta có phương trình: y - x = 10 (1)
Quãng đường xe đạp đi được: 2,5x (km).
Quãng đường ngựa đi được: 2,5y (km).
Ta có phương trình: 2,5x + 2,5y = 125
? x + y = 50 (2)
T? (1) & (2), ta có h? phương trình:
Vậy vận tốc xe đạp là : 20 (km/h).
Vận tốc ngựa là : 30 (km/h).
Bài toán 4 : Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam Định với vận tốc 35km/h. Sau đó 24 phút, trên cùng tuyến đường đó, một ôtô xuất phát từ Nam Định đi Hà Nội với vận tốc 45km/h. Biết quãng đường Nam Định - Hà Nội dài 90km. Hỏi sau bao lâu, kể từ khi xe máy khởi hành, hai xe gặp nhau?
35
45
x
24phút = giờ
35x
Xe máy khởi hành tại Hà Nội
24 phút sau:
Hai xe gặp nhau tại B
Vậy tổng quãng đường hai xe đi được chính là quãng đường nào?
Tổng quãng đường hai xe đi được chính là quãng đường Nam Định - Hà Nội và bằng 90km
Do đó ta có h? th?c:
Bài giải
24phút = giờ
Gọi th?i gian đi c?a xe máy là x (h); Điều kiện x > 0.
Th?i gian đi c?a xe ôtô là
Quãng đường đi c?a xe máy là 35x (km).
Quãng đường đi c?a xe ôtô là (km).
Ta có phương trình: 35x +
? 35x + 45x - 18 = 90 ? 80x = 108

? x = (thỏa mãn điều kiện)
Vậy thời gian để hai xe gặp nhau là giờ, tức là 1 giờ 21 phút, kể từ lúc xe máy khởi hành.
MỘT CÁCH GIẢI KHÁC
Hãy thử chọn ẩn số theo cách khác: Gọi s (km/h) là quãng đường từ Hà Nội đến điểm gặp nhau của hai xe. Điền vào bảng sau rồi lập phương trình với ẩn số: s
Xe máy
Ôtô
Vận tốc (km/h)
Thời gian đi (h)
Quảng đường đi (km)
35
45
s
90 - s
Phương trình là:
Giải phương trình này ta được:
Suy ra thời gian cần tìm là:
Tức là sau 1giờ 21 phút.
NHẬN XÉT HAI CÁCH GIẢI
Phương trình là:
Giải phương trình ta được:
Suy ra thời gian cần tìm là:
Cách 1
Cách 2
NX: Cách hai sau khi chọn ẩn dẫn đến phương trình giải phức tạp hơn; cuối cùng còn thêm một phép tính nữa mới ra đáp số.
35
45
x
24phút = giờ
35x
y
45y
Th?i gian xe máy đi tru?c xe ôtô 24 phút

Hệ thức liên hệ : x - y = (1)
Hai xe đi ngu?c chi?u và g?p nhau
Hệ thức liên hệ : 35x + 45y = 90 (2)
Bài giải
24phút = giờ
Gọi th?i gian đi c?a xe máy là x (h); Điều kiện x > 0.
Th?i gian đi c?a ôtô là y (h); Điều kiện y > 0.
Quãng đường đi c?a xe máy là 35x (km).
Quãng đường đi c?a ôtô là 45y (km).
Ta có phương trình: 35x + 45y = 90
? 7x + 9x = 18 (2)
Vậy thời gian để hai xe gặp nhau là giờ, tức là 1 giờ 21 phút, kể từ lúc xe máy khởi hành.
Ta có phương trình: x - y = (1)
T? (1) & (2), ta có h? phương trình:
Bài toán 5 : M�t ng��i l�i � t� d� ��nh �i t� A ��n B víi v�n t�c 48 km/h. Nh�ng sau khi �i ��ỵc m�t gi� víi v�n t�c �y, � t� b� t�u ho� ch�n ���ng trong 10 phĩt. Do ��, �Ĩ k�p ��n B �ĩng th�i gian �� ��nh, ng��i �� ph�i t�ng v�n t�c th�m 6 km/h. T�nh qu�ng ���ng AB.
A
B
C
v = 48 (km/h)
v` = 48 km/h + 6 = 54 (km/h)
1 giờ
10 phút
BT 5
48
1
48
54
x
x - 48
0
48
0
Hệ thức liên hệ :
Bài giải
10 phút = giờ
Gọi quãng đường AB là x (km); Điều kiện x > 48.
Quãng đường đầu ôtô đã đi là 48 (km), quãng đường đi còn lại c?a ôtô là x - 48 (km) .
Th?i gian dự định c?a ôtô đi t? A đ?n B là:
Th?i gian đi c?a ôtô trên quãng đường đi còn lại là:
Ta có phương trình:
? 432 + 72 + 8x - 384 = 9x
? x = 120 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy quãng đường AB là 120 (km).
BT5
Table
Bài toán 5 : Tìm hiểu cách giải khác?
A
B
C
v = 48 (km/h)
v` = 48 + 6 = 54 (km/h)
1 giờ
10 phút
48
54
x
48x
Hệ thức liên hệ :
Chọn ẩn cho thời gian đi từ C đến B theo dự định với vận tốc dự định?
Bài giải
10 phút = giờ
Gọi thời gian ôtô dự định đi trên quãng đường còn lại là x (h);

ĐK x > 1
Thời gian ôtô thực tế đi trên quãng đường còn lại là:
Quãng đường còn lại ôtô dự định đi là: 48x (km)
Quãng đường còn lại ôtô thực tế đi là:
Ta có phương trình:
? 54x - 9 = 48x
? x = 1,5 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy quãng đường AB là 48 + 48 . 1,5 = 120 (km).
NHẬN XÉT HAI CÁCH GIẢI
Phương trình:
Giải pt ta được:
Phương trình là:
Giải phương trình ta được:
Suy ra quãng đường cần tìm là:
Cách 1
Cách 2
Nhận xét: Cách hai chọn ẩn phức tạp hơn, dẫn đến phương trình dễ giải; nhưng cuối cùng còn thêm một phép tính nữa mới ra đáp số.
Bài toán 6: Một xe máy khởi hành từ A đến B với vận tốc 40km/h. Cùng lúc đó, một ôtô khởi hành từ A đến B với vận tốc 60km/h và đến sớm hơn người đi xe máy 2 giờ 30 phút. Tìm đ? d�i quãng đường AB?
40
60
2 giờ 30 phút = giờ
x
x

Hệ thức liên hệ : (1)
Bài giải
2 giờ 30 phút = giờ
Gọi quãng đường đi c?a xe máy là x (km); Điều kiện x > 0.
Quãng đường đi c?a ôtô cung b?ng quãng đường đi c?a xe máy.
Th?i gian đi c?a xe máy t? A đ?n B là:
Th?i gian đi c?a ôtô t? A đ?n B là:
Ta có phương trình:
? 3x - 2x = 300 ? x = 300 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy quãng đường AB là 300 (km).
Baứi toaựn 7 : Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km. Một ca nô đi từ bến A đến bến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của ca nô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 3 km/h.
30
30
0
0
40` =
x + 3
x - 3
Câu hỏi gợi ý : Vận tốc của ca nô lúc xuôi dòng, ngược dòng có quan hệ như thế nào với vận tốc của dòng nước?
* Vận tốc của ca nô lúc xuôi dòng bằng vận tốc thực của canô cộng với vận tốc của dòng nước.
* Vận tốc của ca nô lúc ngược dòng bằng vận tốc thực trừ đi vận tốc của dòng nước.
Chọn ẩn số x (km/h) là vận tốc thực của ca nô
* Hệ thức liên hệ :
Hệ thức liên hệ ?
Bài giải
40 phút = giờ
Gọi vận tốc thực của canô là x (km/h); Điều kiện x > 3.
Vận tốc của canô lúc xuôi dòng từ A đến B là x + 3 (km/h).
Th?i gian xuôi dòng c?a ca nô t? A đ?n B là:
Th?i gian ngược dòng c?a ca nô t? B đ?n A là:
Ta có phương trình:
? 90x - 270 + 90x + 270 + 2(x2 - 9) = 18(x2 - 9)
? 180x + 2x2 - 18 = 18x2 - 162
? 16x2 - 180x - 144 = 0
? 4x2 - 45x - 36 = 0
Vậy vận tốc thực của canô là 12 (km/h)
Vận tốc của canô lúc ngược dòng từ B ve �A là x - 3 (km/h).
Th?i gian c?a ca nô đi và về là 6 giờ
Suy ra : x1 = 12 (nhận);
x2 = (loại)
A
B
C
v = 40 (km/h)
v` = 40 + 10 = 50 (km/h)
V? trí tăng vận tốc
60 (km)
Bài toán 8 : Một xe máy khởi hành từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu xe máy đi với vận tốc đó, khi còn 60km n?a thì được một nửa quãng đường AB, xe máy tăng thêm vận tốc 10km/h trên quãng đường còn lại, do đó đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB?
Câu hỏi gợi ý : Bài toán nêu lên 2 ý là dự định và thực tế đi từ A đến B của xe máy. Cần lưu ý thực tế khi xe máy đi có hai tình huống?
Quan sát mô hình minh hoạ
(Diểm chớnh gi?a)
* Khai thác về thực tế đi xe máy
+ Lúc ban đầu: Quãng đường xe máy đi như thế nào?
+ Lúc ban đầu: Quãng đường xe máy đi bằng nửa quãng đường AB trừ đi 60 (km)
+ Lúc sau: Quãng đường xe máy đi như thế nào?
+ Lúc sau: Quãng đường xe máy đi bằng nửa quãng đường AB cộng thêm 60 (km)
Lúc đầu
Lúc sau
40
40
40 + 10 = 50
x
* Xét thời gian đi từ A đến B theo dự định so với thực tế đi để xuất hiện hệ thức liên hê?
Hệ thức liên hệ:
A
B
60 (km)
C
v = 40 (km/h)
v` = 40 + 10 = 50 (km/h)
* Thời gian đi từ A đến B theo dự định nhiều hơn so với thực tế đi là 1 giờ, ta có hệ thức liên hệ:
Bài giải
Gọi quãng đường AB là x (km); Điều kiện x > 0.
Th?i gian xe máy dự định đi từ A đến B là: (h).
Th?i gian xe máy đi từ hết quãng đường sau là: (h).
Thời gian đi từ A đến B theo dự định nhiều hơn so với thực tế đi là 1 giờ. Ta có phương trình:
Th?i gian xe máy đi từ hết quãng đường đầu là: (h).
Nửa quãng đường AB là: (km).
Quãng đường xe máy đi lúc đầu là: (km).
Quãng đường xe máy đi lúc sau là: (km).
? 10x - 5x + 600 - 4x - 480 = 400
? x = 280
Vậy quãng đường AB là 280 (km).
Bài toán 1: M�t m�nh ��t h�nh ch� nh�t c� chu vi 340m. Ba l�n chiỊu d�i h�n b�n l�n chiỊu r�ng l� 20m. T�nh chiỊu d�i v� chiỊu r�ng cđa m�nh ��t?
H? th?c liờn h?: 3x - 4(170 - x) = 20
340 : 2 = 170
170 - x
DẠNG 4
Toán có nội dung hình học
x
Câu hỏi gợi ý:
* Xét nửa chu vi h�nh ch� nhật để biểu di?n các đại lượng
* Ba l�n chiỊu d�i h�n b�n l�n chiỊu r�ng l� 20m. H? th?c li�n h??
Bài giải
Nửa chu vi đám đất h�nh ch� nhật là: 370 : 2 = 140 (m)
Gọi chiều dài đám đất h�nh ch� nhật là x (m). ĐK: 0 < x < 170
Chiều rộng đám đất h�nh ch� nhật là 170 - x (m).
Vì ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng đám đất 20 (m)
Ta có phương trình: 3x - 4(170 - x) = 20
? 3x - 680 + 4x = 20
? 7x = 700 ? x = 100 (nhận)
Vậy chiều dài đám đất h�nh ch� nhật là 100 (m)
Chiều rộng đám đất h�nh ch� nhật là 170 - 100 = 70 (m)
340 : 2 = 170
y
x
Bài giải
Nửa chu vi đám đất h�nh ch� nhật là: 370 : 2 = 140 (m)
Gọi chiều dài đám đất h�nh ch� nhật là x (m). ĐK: 0 < x < 170
Chiều rộng đám đất h�nh ch� nhật là y (m). ĐK y < x.
Vì ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng đám đất 20 (m)
Ta có phương trình: 3x - 4y = 20 (2)
Nửa chu vi đám đất h�nh ch� nhật là: 140 (m).
Ta có phương trình: x + y = 170 (1)
T? (1) & (2), ta có h? phương trình:
Vậy chiều dài, chiều rộng đám đất đám đất h�nh ch� nhật là 100 (m), 70(m).
Bài toán 2: M�t m�nh ��t h�nh ch� nh�t c� chiỊu r�ng b� h�n chiỊu d�i 4m v� diƯn t�ch b�ng 320 m�. T�nh chiỊu d�i v� chiỊu r�ng cđa m�nh ��t?
x
x - 4
x(x - 4)
H? th?c liờn h?: x (x - 4) = 320
Bài giải
Gọi chiều dài m�nh đất h�nh ch� nhật là x (m). ĐK: x > 4.
Chiều rộng m�nh đất h�nh ch� nhật là x - 4 (m).
Vì diện tích m�nh đất là 320 (m2).
Ta có phương trình: x (x - 4) = 320
? x2 - 4x - 320 = 0
Suy ra : x1 = 20 (nhận);
x2 = - 16 (loại)
Vậy chiều dài m�nh đất h�nh ch� nhật là 20 (m).
Chiều rộng m�nh đất h�nh ch� nhật là 20 - 4 = 16 (m).
x
y
x . y
H? th?c liờn h?: x - y = 4 (1)
H? th?c liờn h?: x . y = 320 (2)
Bài giải
Gọi chiều dài m�nh đất h�nh ch� nhật là x (m). ĐK: x > y.
Chiều rộng m�nh đất h�nh ch� nhật là y (m).
Chiều dài m�nh đất hơn chiều rộng 4(m).
Ta có phương trình: x - y = 4 (1)
Diện tích m�nh đất là 320 (m2).
Ta có phương trình: x . y = 320 (2)
T? (1) & (2), áp dụng h? thức Viét:
x + (- y ) = 4 ; x (- y ) = - 320
Ta có phương trình: ? X2 - 4X - 320 = 0 (*)
Giải (*). Suy ra x = 20, y = 16
Vậy chiều dài, chiều rộng m�nh đất h�nh ch� nhật là 20 (m) , 16 (m).
Bài toán 3: Hai cạnh của một tam giác vuông có chiều cao ứng với cạnh huyền là 24cm và chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có hiệu bằng 14cm. Tính cạnh huyền ?
24 (cm)
x (cm)
x + 14 (cm)
H? th?c liờn h?:
x (x + 14) = 242
Bài giải
Gọi độ dài hình chiếu cạnh góc vuông thứ nhất trên cạnh huyền là x (cm). ĐK: 24 > x > 0.
Độ dài hình chiếu cạnh góc vuông thứ hai trên cạnh huyền là
x + 14 (cm).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có phương trình:
x (x + 14) = 242
? x2 + 14x - 576 = 0
Suy ra : x1 = 2 (nhận);
x2 = - 12 (loại)
Độ dài cạnh huyền là: x + x + 14 = 2x + 14 = 2 . 2 + 14 = 18(cm).
Baøi toaùn 1 : Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa
nước thì sau đầy bể. Mỗi giờ lượng nước vòi I chảy
được bằng lượng nước vòi II chảy được. Hỏi mỗi vòi chảy
một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể?
Các đại lượng nào tham gia vào bài toán ?
Thời gian chảy đầy bể.
Công việc làm chung ( hai vòi chảy); công việc làm riêng ( vòi I, vòi II).
Lượng công việc làm trong 1 giờ.
CÔNG VIỆC LÀM CHUNG, LÀM RIÊNG
- Chú ý đến việc xét 1 đơn vị (giờ, ngày, tháng…)
DẠNG 5
B: BÀI TẬP
A: LÝ THUYẾT
x (h)
y (h)
b?
b?
b?

Hệ thức liên hệ : + = (1)

Hệ thức liên hệ : = (2)
Mỗi giờ lượng nước vòi I chảy được bằng
lượng nước vòi II
chảy được.
Bài giải
Gọi th?i gian vòi I chảy một mình để đầy bể là x (h); ĐK: x >
Gọi th?i gian vòi I chảy một mình để đầy bể là y (h); ĐK: y >
Ta có phương trình:
Mỗi giờ vòi I chảy được bể.
T? (1) & (2), ta có h? phương trình:
Mỗi giờ vòi II chảy được bể.
Mỗi giờ cả hai vòi chảy được bể.
Mỗi giờ vòi I chảy lượng nước bằng vòi II.
Ta có phương trình:
Vậy thời gian để vòi I , vòi II chảy một mình là 8 giờ, 12 giờ.
Bài toán 2 : Hai t? cơng nh�n c�ng l�m vi?c thì hồn