Chuyên Đề CM Bất Đẳng Thức

Chuyên đề 4: Chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản

Phương pháp 1: Dùng định nghĩa
1. Kiến thức:
Để chứng minh A>B ta đi chứng minhA-B>0
Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức

2. Các ví dụ:
* Ví dụ 1: x,y, z chứng minh rằng


Giải:
Ta xét hiệu



b.Ta xét hiệu


Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1

* Ví dụ 2: Chứng minh rằng
a.
b.
c. Hãy tổng quát bài toán

Giải:
a. Ta xét hiệu


Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a=b

b. Ta xét hiệu


Vậy
c.Tổng quát

Tóm tắt các bước để chứng minh AB theo định nghĩa
Bước 1: Ta xét hiệu H =A-B
Bước 2: Biến đổi H=( C+Dhoặc (C+DE+F
Bước 3: Kết luận A B


Bài tập nâng cao
Cho abc=1 và a>36 chứng minh rằng

2. Chứng minh rằng : Với mọi số thực x,y,z ta có
a.
b.
Gợi ý
2. a.Ta xét hiệu
H=xyz1-2xy2x2xz-2x
=(xyx-zx-1
H>0 ta có đpcm

b.Vế trái có thể viết
H=(x-2y +1y-11
Suy ra H >0 ta có đpcm.

Phương pháp 2: Dùng phép biến đổi tương đương

1. Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.
Chú ý các hằng đẳng thức sau:
(AB= A2AB +B
(A+B+C= ABC2AB +2AC +2BC
(AB= A3AB +3ABB
AB=(AB)(AAB+B
2.Các ví dụ
*Ví dụ1:
Cho a,b, c d,e là các số thực chứng minh rằng:
a.
b.
c.
Giải:
a.

( Bất đẳng thức này luôn đúng)
Vậy ( Dấu bằng xảy ra khi 2a=b suy ra a=
b.

Bất đẳng thức cuối đúng
Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1

c.


Bất đẳng thức đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh.

* Ví dụ 2: Chứng minh rằng
(1)
Giải

Bất đăng thức cuối cùng đúng, vậy ta có điều phải chứng minh

* Ví dụ 3: Cho xy=1, x>y . Chứng minh rằng

Giải:
vì x>y nên x-y>0
Vì xy=1 nên 2xy=2
Điều này luôn đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh.


Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức đã biết

1.Một số bất đẳng thức hay dùng:
1.
2.
3.
4
2.Các ví dụ
* Ví dụ 1: Cho a,b ,c là các số không âm, chứng minh rằng:

Giải:
Dùng bất đẳng thức phụ
Ta