Chuyên đề chia hết và số chính phương

CHUYÊN ĐỀ 1 :TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP CÁC SỐ NGUYÊN

ĐẶT VẤN ĐỀ:
Học sinh được tìm hiểu về một số dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 4; 5; 8; 9; 11.
Học sinh biết cách chứng minh một số, một tích , một tông đại số có chia hết cho một số hay không.
II. CHUẨN BỊ :
GV: Nội dung chuyên đề
HS: Theo hướng dẫn của gv
III. TIẾN TRÌNH

A. Một số kiến thức cơ bản
1.Định nghĩa:
Với mọi số nguyên a,b (b≠0) bao giờ cũng có duy nhất cặp số nguyên q;r
sao cho:
a = bq +r với 0 ≤ r < b
a gọi là số bị chia, b là số chia, q là thương số, r là số dư. Số dư r là một trong ‌‌|b| số:
0; 1; 2; …; ( ‌‌|b| - 1).
Nếu r = 0 ,ta nói rằng a chia hết cho b hay a là bội của b, kí hiệu a
b .
Người ta cũng nói rằng b chia hết a hay b là ước của a, kí hiệu b/a.
- Nếu r ≠ 0 thì ta có phép chia còn dư.
2. Tính chất:
Mọi số nguyên khác 0 đều chia hết cho chính nó.
Nếu a
b và b
c thì a
c (a,b,c (Z và b,c ≠ 0).
Nếu a
b và b
a thì a=b hoặc a =- b (a,b(Z và a,b ≠ 0)
Số 0 chia hết cho mọi số nguyên b ( b ≠ 0)
Nếu a
c và b
c thì a+b
c và a- b
c (a,b,c (Z , c≠0)
Nếu a
b thì ka
b ( a, b, k ( Z, b≠0 )
Nếu a
b và a
c và (b,c) =1 thì a.b
c (a,b,c (Z c≠ 0)
Nếu ab
c mà (b,c) =1 thì a
c (a ,b ,c ( Z ,c≠0).
3.Dấu hiệu chia hết của các số tự nhiên
a, Dấu hiệu chia hết cho 2
Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó là số chẵn
b, Dấu hiệu chia hết cho 3 (cho9)
Một số chia hết cho 3 ( cho9 ) khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (cho9)
c, Dấu hiệu chia hết cho 4
Một số chia hết cho 4 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của nó lập thành một số chia hết cho 4
d, Dấu hiệu chia hết cho 5
Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi số đó tận cùng bởi chữ số 0
hoặc chữ số 5
e, Dấu hiệu chia hết cho 8
Một số chia hết cho 8 khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của nó lập thành số chia hết cho 8.
f, Dấu hiệu chia hết cho 11
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số “đứng ở vị trí lẻ” và tổng các chữ số “đứng ở vị trí chẵn” (kể từ phải sang trái) của số đó chia hết cho 11.


Ngoài ra cần nắm vững các hằng đẳng thức sau:




với mọi n(Z và n>2.
Các ví dụ
Ví dụ 1: Chứng minh rằng một số chia hết cho 13 khi và chỉ khi tổng của số chục và 4 lần chữ số hàng đơn vị của số đó chia hết cho 13.
Giải
Giả sử N đã cho gồm a chục, b đơn vị , tức N = 10a+b trong đó a,b là các chữ số
và a≠0 . Ta phải chứng minh số N chia hết cho 13 khi và chỉ khi số M = a+4b chia hết cho 13.
Ta có:
10 M – N =10(a+4b) - (10a+b) =10a+40b-10a- b =39 b là số chia hết cho 13.
Do đó :
-Nếu M
13 thì 10M
13 mà 10M- N
13 nên N
13.
-Nếu N
13 mà 10M- N
13 thì 10M
13 nhưng ( 10,13) =1 nên M
13.
Vậy N
13 khi và chỉ khi M
13.
ví dụ 2: Chứng minh rằng:
a,