Chuyên đề các bài toán cực trị

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC LỚP 8

I.TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC LÀ GÌ?

Đó là những bài toán có dạng sau:
Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một đại lượng hình học y (độ dài của một đoạn thẳng, tổng của hai hay nhiều đoạn thẳng, độ lớn của một góc, chu vi của một hình, diện tích của một hình v.v...) sao cho:
y1 ( y ( y2
Trong đó y1, y2 là các giá trị cố định hoặc không thay đổi của y, đồng thời phải chỉ rõ vị trí hình học của y (hoặc hình có chứa y) để tại đó y đạt giá trị cực tiểu y = y1 hoặc cực đại y = y2.

II. ĐƯỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC

Căn cứ vào đầu bài, người ta thường giải toán cực trị trong hình học theo ba cách sau đây:
Cách 1:
Vẽ một hình có chứa đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay các điều kiện của đại lượng đó bằng các điều kiện tương đương (có khi phải chọn một đại lượng nào đó trong hình làm ẩn số, dựa vào mối quan hệ giữa ẩn số đó với các đại lượng khác trong hình, những đại lượng này có thể do đầu bài cho sẵn, nhưng cũng có thể do ta làm xuất hiện trong quá trình đi tìm lời giải của bài toán. Biểu thị ẩn số theo các đại lượng đã biết, các đại lượng không đổi rồi biến đổi tương đương biểu thức vừa tìm được để cuối cùng xác định được giá trị của đại lượng cần tìm từ đó suy ra vị trí của hình để đạt cực trị).
Người ta thường dùng cách này khi đầu bài được cho dưới dạng: "Tìm một hình nào đó thỏa mãn các điều kiện cực trị của bài toán"
* Các ví dụ:
Ví dụ 1: Trong tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác nào có chu vi nhỏ nhất?
Giải (h.1)
Xét các tam giác có chung đáy là BC = a và có cùng diện tích là S. Gọi AH là đường cao tương ứng với đáy BC. Ta có:

(không đổi)

Vậy đỉnh A di động trên đường thẳng xy // BC và cách BC một khoảng bằng
. Ta cần xác định vị trí của A trên xy để chu vi (ABC có giá trị nhỏ nhất.
Chu vi (ABC = AB + BC + CA = AB + AC + a, vì a không đổi nên chu vi (ABC nhỏ nhất khi và chỉ khi AB + AC nhỏ nhất.
Gọi B` là điểm đối xứng của B qua x, y; B`C cắt xy tại Ao. Xét (AB`C ta có:
AB` + AC ( B`C (1)
Thay AB` = AB; AoB` = AoB vào (1)
AB + AC ( AoB + AoC (2)
(2) có dấu "=" khi và chỉ khi B`, A, C thẳng hàng. Khi đó A ( Ao. Vì AoB = AoB` = AoC nên (AoBC cân tại Ao.
Vậy trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác cân có chu vi nhỏ nhất.
Ví dụ 2: Cho (ABC có các góc B và C nhọn, BC = a, đường cao AH = h. Xét các hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác có M ( AB; N ( AC; P, Q ( BC. Xác định vị trí của hình chữ nhật MNPQ để nó có diện tích lớn nhất.
Giải:
Vị trí của hình chữ nhật MNPQ sẽ được hoàn toàn xác định nếu ta xác định được vị trí của MN.
Đặt MQ = x; MN = y ( AK = h - x
(AMN (ABC
(



Gọi S là diện tích hình chữ nhật MNPQ thì:
S = xy =
x (h - x) (*) (h2)
S =
(hx - x2) =
(hx - x2 +

=


=

=

dấu "=" xảy ra khi x -
khi đó K là trung điểm của AH hay MN là đường trung bình của (ABC.
Vậy max S =

Chú ý: Ta có thể giải cách khác bằng cách áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy. Từ (*) ta nhận thấy: a, h đều là các hằng số dương nên S lớn nhất khi và chỉ khi x(h - x) lớn nhất. Do x > 0, x < h ( h - x > 0; hai số dương x và h - x có tổng là h không đổi nên tích x(h - x) sẽ lớn nhất khi và chỉ khi: x = h - x ( x =
.
Cách 2:
Đưa ra một hình (theo yêu cầu đầu bài) rồi chứng minh mọi hình