Chuyên đề BDHSG và LTĐH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN TIN
*********



Chuyên đề
QUI NẠP TOÁN HỌC








Giáo viên hướng dẫn: Đặng Đình Hanh
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Ngọc Thư
Lớp: HK53Toán

HÀ NỘI,THÁNG 11-2006





NỘI DUNG CHÍNH



Phương pháp giải
Các dạng toán điển hình
Ví dụ minh hoạ
Lời giải chi tiết
Chú ý
Bình luận phân tích
Bài tập












Lời mở đầu
Trong khuôn khổ giới hạn của một chuyên đề nhóm biên soạn chúng tôi xin không đưa ra các khái niệm định nghĩa,mệnh đề, định lí và các tính chất đã có trong SGH phổ thông mà chỉ đưa ra các dạng toán kèm theo phương pháp giải , tiếp đó là các ví dụ minh họa cùng lời giải chi tiết. Kết thúc ví dụ là những chú ý cần thiết nhằm tăng chất lượng sư phạm cho chuyên đề. Sau mỗi dạng toán chúng tôi có đưa ra một loạt các bài tập đề nghị để các bạn tham khảo và thử sức.
Khi cần dùng đến kiến thức nào chúng tôi sẽ vẫn trình bày lại trước khi sử dụng trong bài giải của mình. Mặc dù đã tham khảo một lượng rất lớn các tài liệu hiện nay cùng với sự nỗ lực của bản thân nhưng do trình độ hiểu biết có hạn nên chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót rất mong được sự góp ý của thầy giáo Đặng Đình Hanh và tập thể lớp K 53H. Xin chân thành cảm ơn.


Một lần nữa nhóm biên soạn chúng tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy giáo Đặng Đình Hanh đã cổ vũ, động viên, cho nhiều ý kiến quý giá, trong quá trình chúng tôi thực hiện chuyên đề này, để chuyên đề sớm được hoàn thành. Xin chân thành cảm ơn Thầy.
Chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn bạn Phạm Trà My đã cung cấp cho chúng tôi nhiều tài liệu hay và quý trong quá trình thực hiện chuyên đề.
Thư góp ý của các bạn xin gửi về địa chỉ email :
[email protected]

Nguyễn Ngọc Thư

QUI NẠP
Phương pháp qui nạp thực sự có hiệu lực với lớp các bài toán chứng minh một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n
N.

Phương pháp giải

Để chứng minh một mệnh đề Q(n) đúng với mọi
, ta thực hiện 2 bước theo thứ tự:
Bước 1 : Kiểm tra mệnh đề là đúng với

Bước 2 : Giả sử mệnh đề đúng với
, ta phải chứng minh rằng mệnh đề đúng với
.

Các dạng toán minh học
Dạng 1 : Dùng phương pháp qui nạp để chứng minh một đẳng thức .
VD1 Chứng minh rằng : Với mọi số tự nhiên n
2 ,ta có :
an – bn = (a – b)(a n – 1 + a n – 2.b +… +a.b n -2 +b n– 1 ) (1)

Ta chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp qui nạp.

Giải
Khi n=2 thì : VT(1) = a 2 – b 2 , VP(1) = (a –b)(a+ b)= a2 – b2 .

Vậy đẳng thức (1) đúng với n=2.

Giả sử (1) đúng với mọi n = k
2 , tức là :


a k – b k = (a – b )(a k-1 + a k-2.b + … + a.b k-2 + b k-1 )
Ta CM (1) cũng đúng với n=k + 1 , tức là :

a k+1 – b k+1 = (a-b)(ak + a k-1.b +…+ a.b k-1 + bk)

Thật vậy : áp dụng giả thiết qui nạp , ta có :
a k+1 - b k+1 = a k+1 – ak.b+ak.b – b k+1

= ak(a-b) + b(ak-bk)

= ak(a-b) +b(a-b)(a k-1 + a k-2.b + …+ a.b k-2 + b k-1 )


= (a-b) [ak + b(a k-1 +a k-2 .b +…+a.b k-2 +b k-1) ]

= (a-b)(ak +a k-1.