Chuyên đề bất đẳng thức hình học

Các bài toán bất đắng thức trong hình học phẳng thường được giải theo các phương pháp sau :



1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết, vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
2. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1 (lớp 8)
Cho M là điểm nằm trong tam giác ABC.
Chứng minh rằng : MB + MC < AB + AC
Từ đó suy ra MA + MB +MC < AB + AC + BC.
LỜI GIẢI:
BM cắt cạnh AC tại D
BD < AB + AD

MB + MD < AB + AD (1)
Xét
có :
MC < MD + DC (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
MB + MC + MD < AB + AD + DC + MD

MB + MC < AB + AC
Chứng minh tương tự ta có : MA + MC < AB + BC
và  : MA + MB < AC + BC
Do đó : 2(MA + MB + MC) < 2(AB + AC + BC)

MA + MB + MC < AB + AC + BC
Chú ý: Từ lời giải bài toán ta cũng có điều sau:
M là điểm nằm trong tam giác ABC thì MB + MC
AB + AC.
Bài 2 (lớp 8)
Cho tam giác ABC có
; AM là trung tuyến. D là điểm trên đoạn thẳng AM.
Chứng minh rằng DB < DC.
LỜI GIẢI
Xét
có

AC > AB
Xét
và
có :
BM = MC (gt) ;
AM ( cạnh chung) ;
AB < AC
Suy ra
.
Xét
và
có :
BM = MC (gt) ;
DM (cạnh chung) ;


Suy ra DB < DC
Bài 3 (lớp 8)
Cho tam giác ABC. M là điểm thuộc AC.
Chứng minh rằng SABC
; SABC

b) Cho tứ giác ABCD.
Chứng minh rằng SABCD

LỜI GIẢI
Gọi BH là đường cao của
.
Ta có
.
SABC
.
M là điểm thuộc
. Do đó :
SABC

b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD; BH và DK là hai đường cao của
và
.

và

Suy ra BH + DK
BO + OD = BD
Do đó : SABCD = SABC + SDAC =

=

Bài 4 (lớp 9)
Cho tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao.
Chứng minh rằng DE < BC.
LỜI GIẢI



bốn điểm B, E , D , C cùng thuộc
đường tròn đường kính BC.
DE là dây cung khác đường kính của
đường tròn đường kính BC
(đường kính là đây cung lớn nhất của đường tròn)

DE < BC
Bài 5 (lớp 9)
Cho đường tròn (O), hai dây cung AB và CD ( AB > CD). Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M. Gọi H và K lần lượt là hai hình chiếu vuông góc của O trên hai đường thẳng AB và CD. Chứng minh rằng:
MH > MK.
LỜI GIẢI
Cách 1 :
AB > CD
OH < OK
(định lí dây cung và khoảng cách đến tâm)

có
theo định lí Pitago ta có
OH2+ MH2 = OM2

có
theo định lí Pitago ta có
OK2+ MK2 = OK2
Do đó OH2+ MH2 = OK2+ MK2
OH < OK nên OH2 < OK2
Suy ra MH2 > MK2
Suy ra MH > MK

Cách 2 :
Vẽ đường tròn (O;OM). Các tia MA; MC
lần lượt cắt (O;OM) tại E; F. (
)
Xét (O;OA) có AB > CD

OH < OK
( định lí dây cung và khoảng cách đến tâm)
Xét (O;OM) có OH < OK

ME > MF.
( định lí dây cung và khoảng cách đến tâm)
Xét (O;OM) có
và

Suy ra
(định lí đường kính và dây cung)
Từ đó suy ra MH > MK.

Cách 3 :
Vẽ đường tròn đường kính OM. Tâm I là trung điểm OM.
Vẽ
,
(
)

,
(gt)
IE // OH
Mà I là trung điểm OM.
Do đó IE là đường trung bình của



Tương tự

Xét (O;OA) có AB > CD
OH < OK (định lí dây cung và khoảng cách đến tâm) do đó IE