Chuyên đề

20:12:02
1
EaKar, ngày 18/04/2013
Tổ Toán – Lý
Trường THCS Trần Phú thực hiện
20:12:02
2
A.Đặt vấn đề:
Theo nghị quyết của Đảng mục tiêu giáo dục là: Nâng cao dân trí đào tạo nhân lực bồi dưỡng nhân tài, vấn đề bồi dưỡng nhân lực là vấn đề thiết thực đặt ra trong hoàn cảnh của đất nước ta hiện nay. Nhóm giáo viên tổ Toán – Lí
trường THCS Trần Phú, cùng nhau nghiên cứu:
Chương trình toán 6 và xét thấy tất cả các em học sinh đều phải rèn luyện kĩ năng tính toán, tính nhanh, tính hợp lí… Tuy nhiên, khi gặp các bài toán tính tổng hữu hạn các số, lập thành dãy số có quy luật thì hầu hết các em, kể cả học sinh giỏi về môn toán cũng thường tỏ ra rất lúng túng. Các em chưa có ý thức tìm tòi, phân tích, lựa chọn cách giải. Do đó, trong nhiều kì thi học sinh giỏi môn toán, đặc biệt là môn toán 6, các em học sinh thường bị mất điểm loại bài tập này. Để bổ sung kiến thức cho các em học sinh khá giỏi và nâng cao chất lượng học sinh, tổ Toán – Lí chúng tôi xin phép đi sâu và mở rộng một số bài tập cơ bản sau.
20:12:02
3
B.Giải quyết vấn đề:
1. Khảo sát thực tiễn:
Khi chưa thực hiện chuyên đề này, thì hầu hết các em làm các dạng bài tập tính tổng dãy số có quy luật rất lúng túng và mất rất nhiều thời gian, có khi không giải được với những dãy số phức tạp… Để thực hiện chuyên đề này nhóm chúng tôi đã tiến hành khảo sát năng lực của học sinh thông qua một số bài kiểm tra đối với 140 học sinh như sau:
Thông qua kết quả khảo sát nhóm chúng tôi xét thấy số học sinh khá giỏi còn thấp nên xét cần phải có biện phát thích hợp để giảng dạy truyền đạt cho học sinh nắm vững những yêu cầu trong quá trình giải những bài toán 6 khó về tính tổng dãy số viết theo quy luật.
20:12:02
4
2. Nội dung vấn đề:
Dạng 1: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG CÁCH ĐỀU

Bài 1.1 Hãy tính số phần tử của các tập hợp sau
(Bài 21,23 SGK Toán 6T1.Trang 14)
20:12:02
5
Giải:

*Tập hợp A là các số tự nhiên liên tiếp từ số 10 đến số 99
Nên ta có (99 – 10 ) + 1 = 90( phần tử)

*Tập hợp B là các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 21 đến 99
Nên ta có (99 – 21 ):2 + 1 = 40( phần tử)
*Tập hợp C là các số tự nhiên chẵn liên tiếp từ 32 đến 96
Nên ta có (96 – 32 ):2 + 1 = 33( phần tử)
20:12:02
6
*Phương pháp giải: Để đếm các số tự nhiên từ a đến b(a Số cuối – Số đầu
+ 1
Khoảng cách giữa hai số
Nghĩa là
Bài 1.2: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 5 chữ số?
Giải:
Các số tự nhiên lẻ có 5 chữ số là:
10 001; 10 003; 10 005; . . .; 99 999
Áp dụng ta có số các số tự nhiên lẻ có 5 chữ số là:

(số)
20:12:02
7
Bài 1.3: Từ 1 đến 1000 có bao nhiêu số chia hết cho 2, có bao nhiêu số chia hết cho 5 ?


Giải:
*Từ 1 đến 1000 có các số chia hết cho 2 là :
2;4;6;8; . . . ; 1000

Áp dụng công thức ta có : (số)

*Từ 1 đến 1000 có các số chia hết cho 5 là :
5;10;15; . . . ; 1000

Áp dụng công thức ta có : (số)
20:12:02
8
Bài 1.4: Hãy tính tổng :
8 + 12 + 16 + 20 + . . . +100
(Bài 112 SBT Toán 6T1.Trang 16)

Giải:
Xét tổng 8 + 12 + 16 + 20 + . . . + 100
Ta có số các số hạng: (100-8):4 + 1 = 24 (số)

Do đó : 8 + 12 + 16 + 20 + . . . + 100
= ( 8+100) .24 : 2 = 1296
20:12:02
9
Bài 1.5: TÝnh B = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99

NhËn xÐt: NÕu häc sinh nµo cã sù s¸ng t¹o sÏ thÊy ngay tæng: 2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99 cã thÓ tÝnh hoµn toµn t­¬ng tù nh­ bµi 1.4, cÆp sè ë gi÷a vÉn lµ 51 vµ 50, (v× tæng trªn chØ thiÕu sè 100) vËy ta viÕt tæng B nh­ sau:
B = 1 + (2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99). Ta thÊy tæng trong ngoÆc gåm 98 sè h¹ng, nÕu chia thµnh c¸c cÆp ta cã 49 cÆp nªn tæng ®ã lµ: (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (51 + 50) = 49.101 = 4949, khi ®ã B = 1 + 4949 = 4950
Ta cã thÓ tÝnh tæng B theo c¸ch kh¸c nh­ sau:
C¸ch 2:
B = 1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99
+B =99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1

2B = 100 + 100 + ... + 100 + 100 + 100
2B = 100.99 Vậy B = 50.99 = 4950
20:12:02
10
Dạng 2:
Bài 2.1: Tính tổng: A= 1.2 +2.3 + 3.4 + . . . + 8.9.
Giải:
A= 1.2 +2.3 + 3.4 + . . . + 8.9.
A = 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 56 + 72 = 240.
Bài 2.2: Tính tổng: B= 1.2 +2.3 + 3.4 + . . . + 99.100.
Giải:
B= 1.2 +2.3 + 3.4 + . . . + 99.100.
3B = 1.2 (3-0) + 2.3(4-1) + 3.4(5-2) + . . . + 99.100( 101 -98)
= 1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + . . . +
+ . . . + 99.100.101 – 98.99.100
3B= 99.100.101.

B=
20:12:02
11
Ta tổng quát thành bài toán sau:
Bài 2.3:Tính tổng: C= 1.2 +2.3 + 3.4 + . . . + n(n+1)
(Với n là số nguyên dương).

Giải:
Với cách làm tương tự ta có
3C=1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 +...+ n(n+1)(n+2)
– (n-1)n(n+1)
=n(n+1)(n+2).

20:12:02
12
Áp dụng công thức tính tổng :
Bài 2.4: Tính giá trị của biểu thức:

M = 1.2 +2.3 + 3.4 + …+ 212.213
N = 1.2.3 +2.3.4 + 3.4.5 + …+ 48.49.50
P = 1.2.3 +2.3.4 + 3.4.5 + …+ 211.212.213
( Toán Volympic 2012-2013)
Giải:
Tính tổng M = 1.2 +2.3 + 3.4 + …+ 212.213
Áp dụng công thức: 1.2 +2.3 + 3.4 + …+ n(n+1)

=

M = 1.2 +2.3 + 3.4 + …+212.213=
20:12:02
13
*Tính tổng N = 1.2.3 +2.3.4 + 3.4.5 + . . . + 48.49.50
Áp dụng công thức:

1.2.3 +2.3.4 + 3.4.5 + . . . + n(n+1)(n+2)

=
N = 1.2.3 +2.3.4 + 3.4.5 + . . . + 48.49.50
=

= 1499400
*Tính tổng P = 1.2.3 +2.3.4 + 3.4.5 + . . . + 211.212.213

=

= 509.743.506
20:12:02
14
Từ bài toán tính tổng quát này ta có thể đề xuất thêm hai bài tính tổng sau:
Bài 2.5:Tính tổng:
A = 12 + 22 + 32 + . . . + n2
B = 1.4 + 2.5 + 3.6 + . . . + n(n+3)
Giải:
Ta nhận xét : n2 = n(n+1) – n
A = 12+ 22 + 32 + . . . + n2 =
=1.2 – 1 + 2.3 – 2 + 3.4 – 3 + . . . + n(n+1) –n
= 1.2 +2.3 + 3.4 + . . . + n(n+1) – ( 1 +2 +3 +...+n)

= =
20:12:02
15
*B= 1.4 +2.5 +3.6 + . . . + n(n+3)
Giải: Ta nhận xét : n(n+3) = n(n+1) + 2n

B=1.2 +2.1 +2.3 +2.2 + 3.4 +2.3 + . . . + n(n+1) +2n
B={1.2 +2.3 + 3.4 + . . . + n(n+1)} + 2( 1 +2 +3 +…+n)

B= +

B=
20:12:02
16
D?ng 3:
B�i 3.1: a) Tính tổng: A= 2 + 22 + 23 + 24+ . . .+220
Lời giải:
Ta cú A= 2 + 22 + 23 + 24+. . .+220
2A= 22 + 23 + 24+ . . .+220 + 221
A = 2A - A = (22 + 23 + 24+ . . .+220 + 221)
- (2 + 22 + 23 + 24+ . . .+220)
A = 221 - 2 =2097150
b) Tính tổng: G= 3 + 32 + 33 + 34+ . . .+32008
Lời giải: Ta cú : G = 3 +32 + 33 + 34 +35 + . . .+ 32008
3G = 32 + 33 + 34 +35+ . . .+32009
2G = 3G - G = (32 + 33 + 34 +35+ . . .+32009)
- (3 + 32 + 33 + 34+ . . .+32009)
2G = 32009 - 3

G=
20:12:02
17
Ta có thể tổng quát bài toán 3.1 thành bài toán sau:
Tính tổng:
M= a + a2 + a3 + a4 +.+an
(với mọi a và n là số nguyên dương a 1)
Lời giải:
aM = a2 + a3 + a4 +a5+ . . .+an (1)
M= a + a2 + a3 + a4 + . . .+ an (2)
L?y (1) tr? (2) ta cú:
(a-1)M = aM - M = (a2 + a3 + a4 +a5 + . . .+ an+1)
-( a + a2 + a3 + a4 + . . .+ an)
(a-1)M = an+1 - a

G=
20:12:02
18
Bài 3.2: Tính tổng : A= 4 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220

Giải :
Ta có A= 4 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220 (1)
Xét 2A=2.( 4 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220)

2A= 8 + 23 + 24 + 25 + . . . + 221 (2)
Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta có:

A = 8 + 221 – ( 4 + 22) Vậy A = 221
20:12:02
19
Bài 3.3 Chứng minh rằng B là lũy thừa của cơ số 2:
B = 4 + 22 + 23 + 24 + . . . + 2100
Giải :

Ta có B= 4 + 22 + 23 + 24 + . . . + 2100 (1)
Xét 2B=2.( 4 + 22 + 23 + 24 + . . . + 2100)
2B= 8 + 23 + 24 + 25 + . . . + 2101 (2)

Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta có:
B = 8 + 2101 – ( 4 + 22) Vậy B = 2101
20:12:02
20
Bài 3.4 Tính tổng C = 4 + 22 + 23 + 24 + . . . + 22013
Giải :
Ta có C= 4 + 22 + 23 + 24 + . . . + 22013 (1)
Xét 2C=2.( 4 + 22 + 23 + 24 + . . . + 22013)
2C= 8 + 23 + 24 + 25 + . . . + 22014 (2)

Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta có:
C = 8 + 22014 – ( 4 + 22) Vậy C = 22014
20:12:02
21
Bài 3.5 Biết: 22 + 22 + 23 + 24 + . . . + 22013 = 2n
Với n là số nguyên dương. Tính số n =?
( Đề Violympic 2012-2013)

Giải :
Vì 22 + 22 + 23 + 24 + . . . + 22013 = 2n nên 22014 = 2n
( Theo bài 3.4)
Vậy n = 2014
20:12:02
22
Bài 3.6 Tính tổng: H =
Giải :
Ta có thể tính tổng H theo bài toán tổng quát , với thì :
H = a + a2 + a3 + a4 + . . . + a2008
Tuy vậy ta còn có cách khác thuận tiện hơn:

5.H =

4H=5H –H = ( )

–( )


= 1- = Vậy H =
20:12:02
23
Dạng 4:Thể loại về phân số
Bài 4.1. Tính giá trị của biểu thức:
A =
Giải:
Xét

Ta có: A =

sau khi bỏ dấu ngoặc ta có:

A = = =
20:12:02
24
Bài 4.2. Tính giá trị của biểu thức:
B =
Giải:
Ta có: B =

sau khi bỏ dấu ngoặc ta có:

B = =
20:12:02
25
Bài 4.3. Tính giá trị của biểu thức:
C =
Giải:
Ta có: C =

sau khi bỏ dấu ngoặc ta có:

C = =
20:12:02
26
Bài 4.4. Tính giá trị của biểu thức:
D =
Lời giải
Ta có D =

sau khi bỏ dấu ngoặc ta có:

D =
20:12:02
27
Nhận xét: Ta nhận thấy các giá trị ở tử không thai đổi và chúng đúng bằng hiệu hai thừa số ở mẫu. Mỗi số hạng
đều có dạng : (Hiệu hai thừa số ở mẫu
luân bằng giá trị ở tử thì phân số đó luân viết được dưới dạng hiệu của hai phân số khác với các mẫu tương ứng).
Nếu ta có một tổng với các đặc điểm: Các số hạng liên tiếp luôn đối nhau ( số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau liên tiếp), cứ như vậy các số hạng trong tổng đều được khử liên tiếp, đến khi trong tổng chỉ còn số hạng đầu và số hạng cuối, lúc đó ta thực hiện phép tính sẽ đơn giản hơn.
20:12:02
28
Bài 4.5. Tính giá trị của biểu thức:
M =

(Bài 95 SBT Toán 6.Trang 28)
Giải:
N =

vận dụng cách làm của phần nhận xét,
ta có : 3 - 5 = 2( đúng bằng tử) nên ta có:

N = =
20:12:02
29
Bài 4.6. Tính nhanh: N =

( Đề Violympic 2012-2013)
Giải: Ta có:
M =

vận dụng cách làm của phần nhận xét,
ta có : 3 - 5 = 2( đúng bằng tử) nên ta có:

M =

=
20:12:02
30
Bài 4.7. Tính giá trị của biểu thức:

N =
Giải:

N =





Vậy N =
20:12:02
31
Dạng 5:
Bài 5.1. Tính giá trị của biểu thứcA=
Giải:
Vì A =

Ta có :A=







Vậy
20:12:02
32
Bài 5.2. Tính giá trị của biểu thức:
B=
( Đề Violympic 2012-2013)
Giải:
Vì B=

Ta có : B =

=

B=

B=
20:12:02
33
Bài 5.3. Tính nhanh:C=
Giải:
Vì C=

Ta có : C =

C =

C=

Vậy C =


20:12:02
34
Bài 5.4. Tính nhanh : D=

( Đề Violympic 2012-2013)
Giải:
Vì D=

Ta có : D =

D=

D=

D=
20:12:02
35
Dạng 6:
Bài 6.1 Tính tổng A =
(Bài 11.7 SBT Toán 6T2.Trang 28)
Qua bài toán trên ta thấy mẫu số của các phân số là tích của nhiều số tự nhiên liên tiếp thì bài toán được giải quyết như thế nào? Trong quá trình giảng dạy cho học sinh được giải như sau
Ta xét:



……..


Suy ra


Vậy :
20:12:02
36
Bài 6.2. Tính giá trị của biểu thức

B =
Giải:
Ta có : B =

=

=

Vậy B =
20:12:02
37
Bài 6.3 Tính tổng C =

Giải :
Áp dụng công thức tổng quát của bài 6.2

Ta có C =




Vậy

20:12:02
38
Bài 6.4 Tính tổng C =

( Đề Violympic 2012-2013)
Giải :
Áp dụng công thức tổng quát của bài 6.2

Ta có C =

20:12:02
39
Bài 6.5 Tính giá trị của biểu thức

D =
Giải :
Ta có D =

D =

D =

Vậy D =
20:12:02
40
Dạng 7:
Bài 7.1: So sánh : và

(Bài 13.4 SBT Toán 6T2.Trang 34)
Giải :
Xét (1)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

Vậy A < B
20:12:02
41
Bài 7.2: So sánh : và

Giải :
*Xét 10. hay (3)

*Xét 10. hay (4)

Từ (3) và (4) suy ra 10.A > 10.B Vậy A > B
20:12:02
42
Bài 7.3: So sánh : và

( Đề Violympic 2012-2013)
Giải :
*Xét 2013.

hay (5)

*Xét 2013.

hay (6)

Từ (5) và (6) suy ra 2013.A > 2013.B
Vậy A > B
20:12:02
43
Bài 7.4: Biết:

Khi đó , so sánh a và b ta được a b
( Điền dấu >;< hoặc + vào chỗ (…..) )
( Đề Violympic 2012-2013)
Giải:
Xét :






Do đó a>b ( Vì hai phân số có cùng tử )
……
20:12:02
44
C.KẾT LUẬN
Với nội dung trình bày trên là một phần kiến thức mà người giáo viên thực hiện trong quá trình giảng dạy. Nhưng đó là những việc chúng tôi đã thường xuyên làm để giúp học sinh học tốt hơn các nội dung toán 6 tại trường THCS Trần Phú. Qua thời gian thực hiện chuyên đề bằng cách hệ thống, phân loại và nêu dạng tổng quát từ ví dụ cụ thể học sinh đã dễ dàng tiếp thu một cách tích cực sáng tạo, gây được sự hứng thu cho học sinh. Với các định hướng trên trong khi giải một số bài tập trong các buổi luyện tập, ôn tập và đặc biệt trong các kì thi thông tin học sinh giỏi toán 6 và các vong thi giải toán violimpic chúng tôi thấy học sinh định dạng và giải các bài tập dạng này tốt hơn.

Do khả năng có hạn nên người viết không tránh khỏi nhiều thiếu sai sót, rất mong các đồng chí, đồng nghiệp dạy toán cùng góp ý thêm để chuyên đề này được hoàn thiện hơn và áp dụng rộng rãi hơn góp phần nâng cao chất lượng dạy học mũi nhọn môn toán 6 ở trường trung học cơ sở.
20:12:02
45