Chương VI. §3. Công thức lượng giác

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1.Công thức cộng:
cos(a+b) = cosacosb - sinasinb cos(a-b) = cosacosb + sinasinb
sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa
sin(a-b) = sinacosb – sinbcosa

Nhớ :
cos thời cos cos, sin sin
sin thời sin cos, cos sin là cùng
tg tổng thì tổng tg ta
phép chia của một trừ thừa tg ra

Cụ thể : VT và VP ngược dấu
VT và VP cùng dấu
tg hiệu là hiệu tg ngươi
phép chia của một cộng thừa tg vô
cos
cotg
tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
M
P
Q
sin
K
α
N
E
F
β
Vận dụng kiến thức đã học :
Xét M , N trên mp tọa độ Oxy :
x
y
Đối với cotg(α±β) vận dụng tg(α±β) vào và nhớ cotg bằng nghịch đảo của tg
Ví dụ : Tính cos150 và cotg2150
Giải
Ví dụ : Tính
Giải
2. Công thức nhân đôi :
sin2α = 2sinαcosα
cos2α = cos2α – sin2α
= 2cos2α – 1
= 1 – 2sin2α
Nhớ :
sin cặp thì cặp sin cô
cos hai lấy hiệu bình cô sin bình
thêm hai cos bình trừ duy nhất
duy nhất trừ đi hai sin bình
tg nhị là nhị tg anh
phép chia của một trừ bình tg thôi
Chứng minh : Vận dụng các công thức sin(α+β), cos(α+β) và tg(α+β). Cụ thể :
a. Hệ quả 1:
Các công thức sau đây cho phép tính cosα, sinα và tgα theo






Chứng minh :
Chứng minh :
Vận dụng các công thức nhân đôi ta được hệ qủa một.
b. Hệ quả 2:
cos bình không biết bằng chi ?
mẫu hai, tử tổng một và cos hai
Nhớ :
Ta có :
Ví dụ : Tính giá trị của biểu thức sau :
Giải
Áp dụng hệ qủa 2 : đặt
3. Công thức biến đổi :
a. Công thức biến đổi tích các hàm số lượng giác thành tổng :
Nhớ :
tích sin là tích nửa âm
cô đầu lấy tổng, cô sau lấy trừ
Chứng minh : Vận dụng công thức cộng rồi cộng hoặc trừ vế theo vế.
Ví dụ : Tính
Giải
b. Công thức biến đổi tổng các hàm số lượng giác thành tích :
Nhớ :
cos ‘+’ cos bằng 2 cos cos

cos ‘-’ cos bằng ‘-’ 2 sin sin

sin ‘+’ sin bằng 2 sin cos

sin ‘-’ sin bằng 2 cos sin
Cụ thể :
Chữ cuối lên giọng thì VT là tổng, xuống giọng VT là hiệu
Ở VP đọc trước là tổng chia đôi, đọc sau là hiệu chia đôi
Chứng minh :
sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa
sin(a – b) = sinacosb – sinbcosa
sin(a + b) + sin(a – b) = 2sinacosb
Đặt :
α = a + b
β = a – b
Áp dụng tương tự với các hàm khác
Ví dụ : Biến đổi thành tích biểu thức sau
M = sinx – sin2x + sin3x
M = sin3x + sinx – sin2x
– sin2x
=
Giải
M = 2sin2xcosx
– 2sinxcosx =
2cosx(sin2x – sinx)
Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sau
N = tg750 – tg150
Giải
Mở rộng cho các công thức sau :
i.
ii.
iii.
sin3α = 3sinα – 4sin3α
iv.
cos3α = 4cos3α – 3cosα
Vận dụng công thức :
Với α = 750 , β = 150 thế vào ta được kết quả :
Chứng minh :
sin3α = sin(2α + α) = sin2αcosα + sinαcos2α
= 2sinαcos2α + sinα(1 – 2sin2α)
= 2sinα(1 – sin2α) + sinα(1 – 2sin2α)
= 2sinα – 2sin3α + sinα – 2sin3α
sin3α = 3sinα – 4sin3α
Tương tự cho cos3α
Tương tự cho sinα - cosα
i.
ii.
iii.
iv.
Bài tập củng cố :
1. Tính: A = sin100sin300sin500sin700
A.cos100 = cos100sin100cos200cos400sin300
A = sin100sin300sin(900 _ 400)sin(900 – 200)
A = sin100sin300 cos400cos200
Giải :
2. Tính : B = cos200 + cos400 + … + cos1600 + cos1800
B = (cos200 + cos1600 ) + (cos400 + cos1400 ) + (cos600 + cos1200 ) + (cos800 + cos1000 ) + cos1800
B = [cos200 + cos(1800 - 20 )] + [cos400 + cos(1800 - 400 )] + [cos600 + cos(1800 - 600 )] + [cos800 + cos(1800 - 800 )] +cos1800
B = (cos200 – cos200 ) + (cos400 – cos400 ) + (cos600 – cos600 ) + (cos800 – cos800 ) + cos1800
B = cos1800 = cos(1800 – 00) = – cos00 = -1
3.Ví dụ :CMR :
Theo giả thiết, A,B,C là các góc của một tam giác, ta có:
A + B + C = π
A + B = π – C
tg(A + B) = tg(π – C)
Giải :
Giải :
(đpcm)
4.Ví dụ :CMR tam giác ABC cân tại B khi:
Mà : A + B + C = π
C + A = π – B
(1)
Giải :
(1)
Do đó :
Tam giác ABC cân tại B