Chương VI. §1. Cung và góc lượng giác

BỔ TRỢ LƯỢNG GIÁC
Nhớ:
ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
M
cos
cotg
sin
tg
P
Q
O
K
H
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
Cô nằm , sin đứng
α
Nhắc lại kiến thức đã học
sin đi học
cứ khóc hoài
thôi đừng khóc
có khó đâu



Chỉ áp dụng cho tam giác vuông
B
A
C

cứ khóc hoài
sin đi học

thôi đừng khóc

có khó đâu
sin
cos

cotg

tg

Giá trị đại số của OP
Khi điểm M di chuyển trên đường (O) với bán kính bằng 1 đơn vị, hình chiếu vuông góc của M lên trục cos là P có thể nằm về phần âm hay dương của trục tính từ tâm O.
Vì vậy, GIÁ TRỊ ĐẠI SỐ có thể âm hay dương
Lưu ý:
Vận dụng vào tam giác OPM vuông tại P:
Xét tam giác OBK vuông tại B :
Xét tam giác OAH vuông tại A :
O
P
M
α
O
H
A
α
α
O
B
K
M
cos
cotg
sin
tg
P
Q
O
K
H
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
α
O
P
M
α
Q
α
Đối với trục tg ta nhớ gốc đặt tại A , chiều dương hướng theo chiều mũi tên
Đối với trục cotg ta nhớ gốc đặt tại B , chiều dương hướng theo chiều mũi tên
Xét tam giác OPM vuông tại P :
M
cos
cotg
sin
tg
P
Q
O
K
H
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
α
Dấu của các hàm số lượng giác
M thuộc ptư I:
M di chuyển trên cung
cos
cotg
sin
tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
α
M thuộc ptư II:
M di chuyển trên cung
M
cos
cotg
sin
tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
α
M thuộc ptư III:
M di chuyển trên cung
M
cos
cotg
sin
tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
α
M di chuyển trên cung
M thuộc ptư IV:
M
1
PM2
cos2α
sin2α
+
(sinα)2
(cosα)2
Xét tam giác OPM vuông tại P :
Một số công thức cơ bản :
Áp dụng định lý Pitago , ta có :
OP2
OM2
+
+
1
O
P
M
α
OQ2
+
OP2
1
( * )
Chia 2 vế của pt (*) cho cos2α ≠ 0
Chia 2 vế của pt (*) cho sin2α ≠ 0
1
Vi? du? : Chu?ng minh ra`ng :
Gia?i:
(đpcm)
Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau độc lập với x
Gỉai:
Vậy E độc lập với x
BẢNG GIÁ TRỊ ĐẶC BIỆT CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC :
HSLG
Ví dụ : Tính cosx,tgx,cotgx. Biết :
Trả lời:
Ta có:
Vì:
cos
cotg
sin
tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
M
Các điểm đặc biệt khi M di chuyển trên đường tròn lượng giác
thì:
Khi từ A, điểm M quay thêm
nhiều vòng theo chiều dương
hoặc âm để trở về A, góc α
có giá trị là:
Hay :
hay
k : số vòng tròn (nếu quay theo chiều dương k>0 ; theo chiều âm k<0)
O
1
A
cos
cotg
sin
tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
M
Khi từ A’, điểm M quay thêm
nhiều vòng theo chiều dương
hoặc âm để trở về A’, góc α
có giá trị là:
thì:
Hay :
hay
O
-1
A
cos
cotg
sin
tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
thì:
Hay :
hay
Khi từ B, điểm M quay thêm
nhiều vòng theo chiều dương
hoặc âm để trở về B, góc α
có giá trị là:
M
1
O
B
cos
cotg
sin
tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
thì:
Hay :
hay
Khi từ B’, điểm M quay thêm
nhiều vòng theo chiều dương
hoặc âm để trở về B’, góc α
có giá trị là:
M
O
B
-1
cos
cotg
sin
tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
Các cung liên kết
sin(α + k2π) = sinα
cos(α + k2π) = cosα
tg(α + k2π) = tgα
cotg(α + k2π) = cotgα
1.Cung sai kém k2π:
Nhớ :
nghĩa là :
sin bằng sin
cos bằng cos
tg bằng tg
cotg bằng cotg
Sai thì bằng
(α+ k2π)
α
(α+ k2π)
+
M
M’
P
P’
Q
Q’
O
cos
cotg
-1
-1
1
B
A
A’
B’
1
α
T
Lấy M’ là điểm đối xứng của M qua đường phân giác thứ nhất OT của hệ trục xOy :
x
y
α
Lập tỉ số rồi suy ra tg và cotg
Nên :
tg
sin
2.Cung phụ :
Ta có công thức sau về cung phụ với :
sin = cosα
cos = sinα
tg = cotgα
cotg = tgα
Nhớ :
nghĩa là :
sin bằng cos
cos bằng sin
tg bằng cotg
cotg bằng tg
Phụ thì chéo
+
O
cos
cotg
-1
-1
1
B
A
A’
B’
1
x
y
tg
sin
M
M’
Q
Q’
P
-α
α
3.Cung đối: (-α)
Lấy M’ là điểm đối xứng
của M qua trục cos:
sin(-α ) = - sinα
cos(-α ) = cosα
tg(-α ) = - tgα
cotg(-α ) = - cotgα
Từ đó suy ra các công thức về cung đối: (-α)
Nhớ :
nghĩa là :
sin bằng - sin
cos bằng cos
tg bằng - tg
cotg bằng - cotg
Đối “-” bỏ cos
(-α )
α
+
O
cos
cotg
-1
-1
1
B
A
A’
B’
1
x
y
tg
sin
M
M’
P
P’
Q
α
α
4.Cung bù: (π-α)
Lấy M’ là điểm đối xứng của M qua
trục sin:
sin(π-α ) = sinα
cos(π-α ) = - cosα
tg(π-α ) = - tgα
cotg(π-α ) = - cotgα
Ta có công thức sau về cung bù: (π-α)
Nhớ :
nghĩa là :
sin bằng sin
cos bằng - cos
tg bằng - tg
cotg bằng - cotg
Bù “-” bỏ sin
(π-α )
α
5.Cung hơn kém nửa pi:
sin = cosα
cos = - sinα
tg = - cotgα
cotg = - tgα
Nhớ :
Nghĩa là :
sin bằng cos
cos bằng - sin
tg bằng - cotg
cotg bằng - tg
Nửa pi sin cos chéo “-”
Chứng minh :
sin(π+α ) = - sinα
cos(π+α ) = - cosα
tg(π+α ) = tgα
cotg(π+α ) = cotgα
6.Cung hơn kém nguyên pi: (π+α)
Nhớ :
nghĩa là :
sin bằng - sin
cos bằng - cos
tg bằng tg
cotg bằng cotg
Nguyên pi hai đối, kỳ dư thì bằng
(π+α )
α
Chứng minh :
Sai thì bằng, phụ thì chéo
Đối “-” bỏ cos, bù “-” bỏ sin.
Nửa pi sin cos chéo “-”
Nguyên pi hai đối, kỳ dư thì bằng.
Nhớ :
Đồ thị của các hàm số lượng giác:
1. Hàm số y = sinx
Hàm y=sinx là một hàm lẻ và tuần hoàn với chu kỳ T=2π
Bảng biến thiên:
Đồ thị :
1. Hàm số y = cosx
Hàm y=cosx là một hàm lẻ và tuần hoàn với chu kỳ T=2π
Bảng biến thiên:
Đồ thị :
1. Hàm số y = tgx
Hàm y=tgx là một hàm lẻ và tuần hoàn với chu kỳ T = π
Bảng biến thiên:
Đồ thị :
1. Hàm số y =cotgx
Hàm y=cotgx là một hàm lẻ và tuần hoàn với chu kỳ T = π
Bảng biến thiên:
Đồ thị :
Tính chất của các hàm số lượng giác
Hàm số y = f(x) có miền xác định D được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại ít nhất một số L≠0 sao cho, với mọi x Є D ta có :
x ± L Є D
f(x ± L) = f(x)
Giá trị dương nhỏ nhất của L, nếu có, được ký hiệu là T và được gọi là chu kỳ của hàm số.
1. Tính tuần hoàn:
a. Định nghĩa :
Định lý :
Các hàm số y = sinx và y = cosx là hàm tuần hoàn và có chu kỳ 2π
Các hàm số y = tgx và y = cotgx là hàm tuần hoàn và có chu kỳ π
Chứng minh :
Xét hàm số :
Vận dụng cung sai kém k2π :
Xét ngoài giá trị 2π còn giá trị nào nhỏ hơn thỏa mãn cos(x±L) = cosx hay không?
Ta có :
Nhưng :
( Vì định nghĩa , số L ≠ 0, nên ta chỉ xét 0Áp dụng tương tự cho hàm y = cosx
Xét hàm số :
Vận dụng cung nguyên π cho tg(x+π) :
Vận dụng cung đối và cung bù cho tg(x-π) :
Ta có :
Nhưng :
( Vì định nghĩa , số L ≠ 0, nên ta chỉ xét 0Áp dụng tương tự cho hàm y = tgx
2. Tính chẵn lẻ của một hàm số lượng giác:
Định lý:
y = cosx là hàm số chẵn
y = sinx , y = tgx, y = cotgx là các hàm số lẻ
Chứng minh :
a. Hàm số y = cosx có D=R nên :
Nhắc lại kiến thức đã học :
f(x) là một hàm chẵn
f(x) là một hàm lẻ
hàm chẵn
b. Hàm số y = sinx, y= tgx,
y = cotgx có miền xác định D :
hàm lẻ
Hàm số y = sinx tăng trên [0;π/2] và giảm trên [π/2;π]
Hàm số y = cosx giảm trên [0;π]
Hàm số y = tgx tăng trong [0; π/2)
Hàm số y = cotgx giảm trong (0; π/2]
3.Tính đơn điệu của các hàm số lượng giác :
a. Định lý :
cos
cotg
sin
tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
M
M’
P
P’
Q
Q’
Hàm cosx giảm
Hàm sinx tăng
Hàm cosx giảm
Hàm six giảm
(M tăng dần từ 0 đến π/2)
(M tăng dần từ π/2 đến 0)
Hàm cosx giảm
Hàm sinx tăng
Hàm cosx giảm
Hàm six giảm
(M tăng dần từ 0 đến π/2)
(M tăng dần từ π/2 đến 0)
Hàm tgx tăng, vì:
Hàm cotgx giảm, vì:
b. Miền giá trị của các hàm số lượng giác:
Với mọi x Є D , ảnh của x là y = f(x) có các giá trị thuộc về một tập hợp T , thì T được gọi là miền giá trị của hàm số f.
cos
cotg
tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
M
P
Q
sin
Khi M di chuyển trên đường tròn (0) với R=1 đvị, thì hình chiếu của nó lên các trục sin và cos là P và Q luôn nằm trong giá trị từ -1 đến +1. Do đó :
Đối với các điểm H và K lần lượt xác định trên trục tg và cotg khi kéo dài OM (trừ M≡B đối với tg và M≡A đối với cotg) nên : T = (-∞;+∞)
H
K
α
Các ví dụ :
i. Tính các hàm số lượng giác của các góc (cung ) sau:
Trả lời :
Tính :1350 và 13050
Tương tự : Áp dụng cung sai kém k2π vào góc 13050 đối với các hàm cos , tg và cotg.
Tính : 17π và -13π/6
Tương tự : Áp dụng cung đối và cung sai kém k2π vào góc -13π/6 đối với các hàm cos , tg và cotg.
ii. Tính giá trị biểu thức :
Với cotgx = -3
Vì cotgx = -3 nên sinx ≠ 0 , do đó chia tử và mẫu cho sin2x
Trả lời :
iii. Đơn giản biểu thức :
Trả lời :
iv. Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng :
Trả lời :
Theo giả thiết A, B, C là ba góc của một tam giác nên:
A + B + C = π
A + A + B + C = π + A
2A + B + C = π + A
(đpcm)
Vài cảm nghĩ:
Khi học Lượng giác, các em chú ý học kỹ đường tròn của bài này.
Những công thức các em học sẽ dễ dàng hơn nếu đưa những dòng thơ gần gũi vào nơi cần thiết.
Chúc các em học tốt !
Thầy Tuấn , KP5, F. Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM-Tel : 0939.889.444