Chương IV. §5. Dấu của tam thức bậc hai

Bài soạn
Định lý đảo về dấu
của tam thức bậc hai
Tiết:69
I. Mục tiêu
* Học sinh nắm được nội dung của định lý và hai hệ quả:
* Biết cách vận dụng lý thuyết vào giải bài tập.
II. Tổ chức giờ học





Kiểm tra bài cũ




Câu hỏi
Nêu định lý về dấu của tam thức bậc hai?

* a.f(x) > 0, ? x ? (-?,x1)?(x2,+?)
* a.f(x) < 0, ? x ? (x1,x2)
*? > 0 , phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < x2.
* a.f(x) > 0, ? x ?
*? = 0 phương trình f(x) = 0, có nghiệm kép x1= x2 =
* a.f(x) > 0, ? x ? R
? < 0, phương trình f(x) = 0
vô nghiệm.
Dấu của f(x)
Dấu của biệt thức ?
Bảng xét dấu của tam thức bậc hai

Câu hỏi
Hãy cho biết a.f(x) < 0 trong trường hợp nào?

Trả lời

a.f(x) < 0 chỉ có duy nhất trong trường hơp
? > 0, khi đó phương trình f(x) = 0, có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1< x2) và x1< xNếu tồn tại ?? R: a.f(?) < 0, ta có kết luận gì về số nghiệm của phương trình
f(x) = 0?
Câu hỏi

Tiết: 69
Định lý đảo về dấu
của tam thức bậc hai
I. Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai.
II. Một số ứng dụng của định lý đảo về dấu tam thức bậc hai.
1. Chứng minh sự tồn tại nghiệm của tam thức bậc hai.
2. Xét vị trí giữa các số ?, ? với các nghiệm của tam thức bậc hai.
Nội dung
I. Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai.




Định lý:
Cho tam thức bậc hai:
f(x) = ax2 + bx +c (a ? 0) và một số thực ?. Nếu a.f(?) < 0, thì tam thức có hai nghiệm phân biệt x1, x2
(x1< x2) và x1< ? < x2.


Từ bảng xét dấu của tam thức bậc hai, có duy nhất trường hợp a.f(x) < 0 ứng với ? > 0 phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1Chứng minh
Theo giả thiết của định lý đảo a.f(?) < 0 , do đó tam thức f(x) có hai nghiệm x1, x2 (x1Ví dụ 1: chứng minh rằng phương trình:
x2 - 2(m-1)x - 5 = 0 (1)
có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Lời giải:
Đặt f(x) = x2 - 2(m-1)x - 5
Ta có a = 1 > 0
Chọn ? = 0, khi đó
f(?) = f(0) = -5
af (?) = 1.(-5) = -5 < 0
Theo định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai suy ra phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Câu hỏi 1: Để chứng minh phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, ta thường làm như thế nào?
Câu hỏi 2: Ngoài cách chứng minh ? > 0, ta còn có thể làm theo cách nào?
Từ định lý thuận và định lý đảo ta suy ra hai hệ quả sau.

Hệ quả 1.
Cho tam thức bậc hai:
f(x) = ax2 + bx + c(a?0).
điều kiện cần và đủ đễ phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2(x1< x2) là tồn tại số thực ? sao cho a.f(?) < 0.
Chứng minh
* Theo định lý thuận phương trình: f(x) = 0, có hai nghiệm x1< x2
? tồn tại ? ? R: a.f(?) < 0. (1)

* Theo định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai a.f(?) < 0
? phương trình f(x) = 0, có hai nghiệm phân biệt. (2)
Từ (1) và (2) suy ra (đpcm)
f(x) = ax2 + bx + c (a?0) và hai số thực ?, ? sao cho ? < ?. Điều kiện cần và đủ để phương trình f(x) = 0, có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm nằm trong khoảng (?,?), nghiệm còn lại nằm ngoài đoạn [?,?] là: f(?).f(?) < 0
Hệ quả 2

Cho tam thức bậc hai:



Ta có với a ? 0: f(?)f(?) < 0
? a2f(?).f(?) < 0
? af(?).af(?) < 0

Chứng minh
Minh họa bằng đồ thị
x
Chứng minh rằng với mọi m ? 1 và m ? 0, phương trình:
(1-m)x2 + (m-2)x + 4m-3 = 0
luôn có hai nghiệm phân biệt, một nghiệm thuộc khoảng (-1;3), nghiệm còn lại nằm ngoài đoạn [-1;3].
Ví dụ 2


Suy ra:
* f(-1).f(3) = 2m.(-2m) = - 4m2 < 0
Vậy theo hệ quả 2 ta có (đpcm).

Câu hỏi
Để chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt, một nghiệm thuộc khoảng(-1;3), nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;3], ta làm thế nào?

Hướng dẫn:
Ta cần chứnh minh
f(-1).f(3) < 0
Lời giải
Đặt f(x) = (1-m)x2 +(m-2)x +4m-3
Tacó:
* f(-1) = (1-m)(-1)2 + (m-2)(-1) +4m-3 = 2m

* f(3) = (1-m)32 + (m-2)3 +4m-3
= -2m

Củng cố
Lý thuyết:
Cần nắm được nội dung định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai.


Nắm được nội dung của hệ quả 1 và hệ quả 2.

Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx +c (a ? 0) và một số thực ?.
Nếu a.f(?) < 0, thì tam thức có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2)
và x1 < ? < x2.
Hệ quả 1

Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c(a?0).
điều kiện cần và đủ để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (x1< x2) là tồn tại số thực ? sao cho a.f(?) < 0.
Hệ quả 2
Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a?0) và hai số thực ?, ? sao cho ? < ?. Điều kiện cần và đủ để phương trình f(x) = 0, có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm nằm trong khoảng (?,?), nghiệm còn lại nằm ngoài đoạn [?,?] là: f(?).f(?) < 0


Bài 2. Xác định m để phương trình:
(m+3)x2 - 3(m-1)x + 4m = 0
có một nghiệm thuộc khoảng (-2;2), nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-2;2].

Bài tập về nhà

Bài 1. Chứng minh rằng phương trình:
-x2 +4(m-2)x + 1= 0
có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Bài 3.
Xác định m để phương trình:
(m+1)x2 + 2(m-2)x + 2m-12 = 0
có một nghiệm thuộc khoảng
(-1;1), nghiệm kia nằm ngoài
đoạn [-1;1].

Hướng dẫn
Bài 1: Ta có a = 1, chọn ? = 0 thì a.f(?) = 1.f(0) = -1

Bài 2: Giải các bất phương trình
a ? 0 và f(-2).f(2) < 0 ? m
Bài 3 Tương tự bài 2.