Chương IV. §5. Dấu của tam thức bậc hai

Cho các đồ thị:
f(x) = 2x2-7x+5
f(x) = -x2 + 4x-4
f(x) =x2-2x+5
BÀI CŨ
Dựa vào đồ thị, tìm các giá trị của x để f(x) >0, f(x)<0
y
y
y
x
x
x
Bài dạy:
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
TAM THỨC BẬC HAI
ĐỊNH NGHĨA
Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những số cho trước với a ≠ 0.
NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c chính là nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0.
BIỆT THỨC
Các biệt thức Δ = b2 – 4ac và Δ` = b`2 – 4ac với b = 2b` theo thứ tự cũng được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c.
II. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
f(x) = 2x2-7x+5
f(x) = -x2 +4x-4
f(x) =x2-2x+5
Quan sát đồ thị rút ra mối liên hệ về dấu của f(x) ứng với x tuỳ ý tuỳ theo dấu của biệt thức Δ (Δ’) và hệ số a của f(x)
f(x) =2x2-7x+5 ta có: Δ = 3 >0 , a=2>0 f(x) >0 x<1 hoặc x> 5/2
. af(x) >0 với x<1 hoặc x> 5/2
f(x) < 0 1f(x) =- -x2 + 4x-4 ta có f(x) < 0 ,a = -1 <0, Δ =0 af(x) >0 với
f(x) = x2-2x+5 ta có f(x) > 0 , a = 1>0, Δ’ = -4<0 af(x)>0 với


y
x
x
x
y
y
Δ < 0 (Tam thức bậc hai vô nghiệm).
a>0
a<0
Δ = 0 (Tam thức bậc hai có nghiệm kép xo = ).
a > 0
a < 0
h.3
h.4
Δ > 0 (Tam thức bậc hai có 2 nghiệm x1 và x2 (x1 < x2)).
a > 0
a < 0
0
x
y
0
y
x
h.5
h.6
x1
x2
x1
x2
ĐỊNH LÝ VỀ DẤU
CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a≠0).
Nếu Δ< 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với moi x .
Nếu Δ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ≠ .

Nếu Δ > 0 thì f(x) có 2 nghiệm x1 và x2 (x1 < x2). Khi đó, f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x nằm trong khoảng (x1; x2) (tức là với x1 < x < x2), và f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x nằm ngoài đoạn [x1; x2] (tức là với x < x1 hoặc x > x2).
HOẠT ĐỘNG 1
Xét dấu của các biểu thức sau:
Nhóm 1: f(x) = -2x2+5x+7
Nhóm 2: g(x) = 2x2 -x +7
Nhóm 3: h(x) = -9x2+12x -4
Nhóm 4:
Trả lời
Vì a = -2 <0, f(x) có 2 nghiệm phân biệt x1 = -1, x2 = 7/2. Bảng kết quả:
Vì a = 2>0, tam thức g(x) có Δ = -55 <0 nên g(x) = 2x2 -x +7>0
Vì a =-9<0 tam thức h(x) có Δ = 0, nghiệm kép x =2/3 nên>
Nghiệm của tử cho 2x2 –x-1 =0 x = -1/2, x = 1. Nghiệm của mẫu cho x2 -4 =0 x=-2 , x =2
Ta có bảng kết quả:
NHẬN XÉT
Từ định lý dấu của tam thức bậc hai tìm điều kiện để tam thức luôn âm hoặc luôn dương, không âm, không dương với mọi x thuộc R ?
HOẠT ĐỘNG 2:
Nhóm 1:Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn dương:
(m+2)x2 +2(m+2)x +m+3
Nhóm 2: Với giá trị nào của m đa thức:
f(x) = (m+1)x2+ 2(m+1)x+m- 1
không dương với mọi x thuộc R
TRẢ LỜI
CHÚ Ý: Trong đa thức f(x) chưa phải là tam thức bậc hai thực sự cần xét trường hợp làm cho hệ số a = 0, tránh bỏ sót giá trị của tham số thoả mãn yêu cầu bài toán