Chương IV. §5. Dấu của tam thức bậc hai

Đại số 10: Ban cơ bản
Tiết 40

O
x
y
I
Đồ thị hàm số y=ax2+bx+c
O
x
y
I
o
x
y
I
O
x
y
I
Hình 1
Hình 2
Hình 3
O
x
y
I
I
O
y
x
x1
O
x
y
I
Hình 4
Hình 5
Hình 6
I. Định lí về dấu tam thức bậc hai
1. Tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x)=ax2+bx+c
Trong đó a,b,c là các hệ số ,
Ví vụ : f(x)=2x2-3x+5
g(x)=4-x2
k(x)=(m-1)x2-2x-3 (
Chú ý

Nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0 cũng là nghiệm của tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c
Các biểu thức


=b2-4ac
, hay


O
x
y
+
+
+
+
+
+
O
y
x
-
-
-
-
-
-
x
f(x)
cùng dấu với a
(af(x)>0 với mọi x)
x
f(x)
+
x
f(x)
-
Minh hoạ dấu của tam thức bậc hai khi
O
x
y
+
+
+
+
+
+
O
y
x
-
-
-
-
-
-
x
f(x)
0
(af(x)>0 với mọi x
x
f(x)
+
x
f(x)
-
x0
+
0
x0
-
0
x0
Cùng dấu a
Cùng dấu a
Minh hoạ dấu của tam thức bậc hai khi
0
x
y
+
+
+
+
+
-
-
-
-
0
x
y
+
+
+
+
-
-
-
-
x
f(x)
0
0
Trái dấu a
Cùng dấu
a
Cùng dấu
a
x
f(x)
0
0
+
-
+
x
f(x)
0
0
-
-
+
Minh hoạ dấu của tam thức bậc hai khi
2. Dấu của tam thức bậc hai (SGK)
Định lí :
Cho f(x)=ax2+bx+c( a#0)
+ Nếu
< 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x
+ Nếu
=0 Thì f(x) luôn cùng dáu với a ,trừ x=
+ Nếu
>0 thì f(x) cùng dấu với a khi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm , trái
Dấu với a khi x nằm trong khoảng hai nghiệm
( Chú ý : vai trò của biệt số
và
là như nhau )
3. Vận dụng
Ví dụ 1: Xét dấu các tam thức sau
f(x)=x2-2x+5
g(x)=-x2+2x-1
k(x)=2x2-3x+1
Bài giải:
a.
=-16<0
Hệ số a=1>0 nên f(x)>0 với mọi x
b.
=0
Hệ số a=-1<0 nên g(x)<0 với mọi x#1
Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1=1; x2=1/2
Hệ số a=2>0 . Ta có bảng xét dấu k(x) như sau




x
k(x)
1/2
1
0
0
-
+
+
Ví dụ 2:
Cho tam thức f(x)=2x2-6x+15 các khẳng định nào sau đây là đúng
f(x) luôn âm với mọi x
b. f(x) luôn dương với mọi x
c. f(x) luôn không âm với mọi x
d. f(x) luôn không dương với mọi x
Giải:
Chọn b vì
và a=2>0
Ví dụ 3:
Cho f(x)= -2x2+3x+5 f(x)<0 khi x thuộc vào khoảng nào dưới đây

a. (-1;
)
b.
c.
d.
x
f(x)
-1
5/2
0
0
+
-
-
Giải:
Chọn c vì:
Ví dụ 4: Xét dấu biểu thức

Giải:
Tam thức có hai nghiệm -4,4
Tam thức x2-5x+6 có hai nghiệm là 2, 3
x
x2-16
x2-5x+6
A
-4
2
3
4
0
0
-
-
-
+
+
0
0
-
+
+
+
+
0
0
0
0
+
-
+
-
+
Tam thức bậc hai chỉ trái dấu với hệ số a khi nào?

2.
3