Chương IV. §5. Dấu của tam thức bậc hai

Bảng xét dấu tam thức bậc hai
t5 §Þnh lý ®¶o vÒ dÊu tam thøc bËc hai
I. Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai
II. So sánh một số với các nghiệm của một tam thức bậc hai
định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax? + bx + c (a? 0), ? ? R.
I - Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai
* f(x) có hai nghiệm phân biệt x?, x? (x? 1) Định lí:
* x? < ? < x?.
Chứng minh.
Giả sử ta có:??? 0
, khi đó theo bảng xét dấu của tam thức f(x)
Ta có : a.f(x) ? 0 , ?x ??R.
Nên a.f(? ) ? 0 , ?? ??R (trái giả thiết)
Giả sử ? ??(x1;x2)
? ? ?(-??; x1] U [x2; +?)
? a.f(? ) ? 0, vô lý !
( p c )
Vậy
? > 0 .
f(x) có hai nghiệm phân biệt x?, x?
Do đó
x? < ? < x?.
Hệ quả 1.
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ? 0)
f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) ? ??? : a.f(?) < 0
? a.f(1) < 0 với mọi m ? Theo hệ quả 1 phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
f(1) =
Ta có a = 1
Giải:
1- (2m2 +1+ 2m2+1) +2m2 =
Hệ quả 2.
Cho f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ? 0). Và hai số a, b? R (a < b).
Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm,
f(a).f(b) < 0 (1)
?
Chứng minh.
f(a)f(b) < 0
?
af(a) . af(b) < 0 ( 1)
Ta có với a ? 0 :
?
a.f(a) < 0
a.f(b) > 0
a.f(a) > 0
a.f(b) < 0
Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x1 < x2

Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x1 < x2

?
1nghiệm thuộc (a, b), nghiệm kia nằm ngoài đoạn [a, b]
*Theo định lý đảo:
* Ngược lại : Nếu xảy ra khả năng (2) hoặc (3) .Thì:
af(a) . af(b) < 0
Vậy :
f(a)f(b) < 0 (đpcm)
và x1 < a < x2
(2)
< b
x1 < b < x2
(3)
a <

Ví dụ 2: Cho tam thức bậc 2
f(x) = x2 - 1+mx( x+4) với m ?? -1 (1)
Chứng minh phương trình f(x) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt ?m.
Bài giải :
f(0) = -1 ;
f(-4) = 15
? f(0).f(-4) <0 với ? m.
Theo hệ quả 2 ?
Phương trình f(x) = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt ? m.
(1) ?
f(x) = (1+m) x2 + 4m x -1
Ví dụ 3
X2+ (m+2) x +3m - 4 = 0
Giải:
áp dụng đ.l đảo:
a =1 ;
f(-3) =
-1
?
Vậy phương trình có 2 nghiệm:
Ví dụ 4: Cho phương trình: f(x) = 2x2 + ( 2m - 1)x + m + 1 = 0
Tìm m để phương trình có một nghiệm thuộc khoảng ( 1; 3)
- nghiệm kia ngoài đoạn [- 1; 3 ]
Bài giải
Theo hệ quả 2
phương trình có một nghiệm ? (-1; 3) nghiệm kia ngoài đoạn [ -1; 3 ]
?
f(-1).f(3) < 0 (*)
?
( 4 - m)(7m + 16) < 0
?
m?(-?,-16/7) ? ( 4, ?)
Kết luận:
với m ? (-?,-16/7) ? ( 4, ?) thì:
phương trình có một nghiệm ? (-1; 3) nghiệm kia ngoài đoạn [ -1; 3 ]
f(-1)= 4 - m ;
f(3) = 7m + 16 .
(*)
áp dụng:
Bài toán2:

Xác định m để P.T.bậc hai có một nghiệm ?(a,b), nghiệm kia ngoài đoạn ?a,b? ? ?(a). ?(b )< 0 (H.qủa 2)
* a?(?)< 0
(Đ.L đảo -H.quả 1)
* ?(?). ?(? )< 0 (H.quả 2)
So sánh một số với các nghiệm của phương trình bậc hai:
Bài toán3:
CM. phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biêt:

Bài toán1:
Bài tập về nhà: Bài 1,2,3,4. Trang 122- SGK
Xin chân thành cảm ơn
các em học sinh.