Chương IV. §5. Dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai
Giáo viên: Ngô Minh Tuấn
Trường THPT Ngô Quyền
1. Tam thức bậc hai
Định nghĩa:
+ Tam thức bậc hai(đối với x) là biểu thức dạng ax2 + bx + c trong đó a, b, c là những số cho trước, a ? 0.
+ Nghiệm của tam thức cũng là nghiệm của phương trình bậc hai
ax2 + bx + c = 0.
+ ? = b2 - 4ac, ( ?`= b`2 - ac ) là các biệt thức ( thu gọn ) của tam thức.
2. Dấu của tam thức bậc hai.
Căn cứ vào dấu của ? và dấu của a ta có thể xét được dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c . Tức là biết được khi nào tam thức đó âm hay dương
Thật vậy sao ???
để cụ thể chúng ta xét các trường hợp sau của a và ?
Nếu ? < 0 thì:
a > 0 a < 0

Kết luận:
a.f(x) > 0 với mọi x thuộc R
Hay f(x) luôn cùng dấu với a, với mọi x.
Nếu ? = 0: (tam thức có nghiệm kép x0 = -b/2a )
a < 0 a > 0







x - ? xo + ? x - ? x0 +?
f(x) - 0 - f(x) + 0 +
Kết luận:
a.f(x) > 0
với mọi x ? x0
và f(x0) = 0
Nếu ? > 0: (tam thức có 2 nghiệm phân biệt x1 < x2)
a > 0 a < 0






x -? x1 x2 + ? x -? x1 x2 + ?
f(x) + 0 - 0 + f(x) - 0 + 0 -
Kết luận:
a.f(x) > 0 với mọi x ?(-?; x1) U (x2; +?)
a.f(x) < 0 với mọi x ?(x1; x2)


Từ các trường hợp trên chúng ta có
Định lí: ( về dấu của tam thức bậc hai )
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ? 0)
Nếu ? < 0 thì:
f(x) cùng dấu với a, với mọi x thuộc R
Nếu ? = 0 thì:
f(x) cùng dấu với a, với mọi x ? - b/2a
Nếu ? > 0 thì:
f(x) cùng dấu với a, với mọi x ?(-?; x1) U (x2; +?)
f(x) trái dấu với a, với mọi x ?(x1;x2)
Các ví dụ
Vd1: XÐt dÊu c¸c tam thøc sau?
a) f(x) = 2x2 – 2x + 3
b) g(x) = - 2x2 + 3x – 1
c) h(x) = 9x2 – 12x + 4
Lêi gi¶i
a) Tam thøc f(x) cã:
Δ’ = 1 – 6 = -5 < 0
nªn tam thøc lu«n cïng dÊu víi a = 2 > 0
VËy f(x) > 0 víi mäi x ∈R

b) Tam thức g(x) có hai nghiệm là
x1 = 1/2, x2 = 1 và a = -2 < 0 nên:
g(x) < 0 khi x ?(-?; x1) U (x2; +?)
g(x) > 0 khi x ?(x1: x2).
Ta có thể ghi kết qủa như sau:
x - ? 1/2 1 + ?
f(x) - 0 + 0 -
c) Tam thức h(x) có ?` = 0 nên có nghiệm kép x = 2/3 và a = 9 > 0 nên:
h(x) > 0 với mọi x ?R {2/3}
h(2/3) = 0
Chú ý:
Chỉ có duy nhất một trường hợp dấu của tam thức không đổi (luôn dương hoặc luôn âm) đó là.?
khi ? < 0, lúc đó dấu của tam thức là dấu của a;
Vậy x ?R, ax2 + bx + c > 0
khi và chỉ khi a > 0
? < 0
x?R, ax2 + bx + c < 0
khi và chỉ khi a < 0
? < 0


Vd2: Tìm m để đa thức
f(x) = (2- m)x2 -2x + 1 luôn dương?
Lời giải:
+ Khi m = 2 thì f(x) = -2x + 1
Ta có f(1) = -1 < 0, m = 2 loại
+ Khi m ? 2, f(x) là tam thức bậc hai với ?` = m - 1.
Ycbt ? 2 - m > 0
m - 1 < 0
? m < 1 .
Vậy m < 1 thoả mãn ycbt.
Vd3: Tìm m để tam thức sau luôn âm?
f(x) = (m - 2)x2 - 2(m - 3)x + m - 1
Lời giải
+ Khi m = 2 thì f(x) = 2x + 1, f(1) = 3 > 0
Vậy m = 2 loại
+ Khi m ? 2, f(x) là tam thức bậc hai với ?` = -3m +7.
Ycbt ? m - 2 < 0
-3m + 7 < 0 ? 7/3 < m < 2
Vậy 7/3 < m < 2 thoả mãn ycbt.
Hướng dẫn chứng minh định lí về dấu của tam thức bậc hai
- Ta viết f(x) = ax2 + bx + c = a[x2 + (b/a)x + c/a] =
= a[(x + b/2a)2 - ?/4a2]
- Nếu ? < 0 => [(x + b/2a)2 - ?/4a2] > 0 => f(x) cùng dấu với a với mọi x.
- Nếu ? = 0 => f(x) = a.(x + b/2a)2 => f(x) cùng dấu với a nếu x khác -b/2a; f(-b/2a) = 0.
- Nếu ? > 0 => f(x) = a.(x - x1).(x - x2). Giả sử x1< x2
Ta có: x - ? x1 x2 + ?
x - x1 - 0 + +
x - x2 - - 0 +
(x - x1)(x - x2) + - +
Từ đó suy ra đpcm.
Chúc mừng các em, chúng ta đã học xong bài.