Chương IV. §5. Dấu của tam thức bậc hai

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
I. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
1. Tam thức bậc hai
Quan sát các biểu thức sau và nhận xét chúng có đặc điểm gì chung:
x2 – 5x + 4, -2x2 + 4x, x2 - 2

* Định nghĩa:
Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những hệ số, a  0.
Lấy một vài ví dụ về tam thức bậc hai và chỉ ra các hệ số a, b, c của các tam thức bậc hai đó.

Chú ý:
+ Nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c.
+ Các biểu thức  = b2 - 4ac và ’ = b’2 - ac với b = 2b’ theo thứ tự cũng được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c.
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
I. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
1. Tam thức bậc hai
Bài toán 1:
1) Xét tam thức bậc hai f(x) = x2 – 5x + 4. Tính f(4), f(2), f(-1), f(0) và nhận xét về dấu của chúng.
2) Quan sát đồ thị hàm số y = x2 – 5x + 4 và chỉ ra các khoảng trên đó đồ thị ở phía trên, phía dưới trục hoành.
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
I. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
1. Tam thức bậc hai
Bài toán 1:
3) Quan sát đồ thị các hàm số sau và rút ra mối liên hệ về dấu của giá trị f(x) = ax2 + bx + c ứng với x tuỳ theo dấu của biệt thức  = b2 - 4ac.
y = f(x) = x2 - 5x + 4
y = f(x) = x2 - 4x + 4
y = f(x) = x2 - 4x + 5
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
I. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
2. Dấu của tam thức bậc hai
Định lý về dấu của tam thức bậc hai:
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0),  = b2 - 4ac.
+ Nếu  < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x  R.
+ Nếu  = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x  -b/2a.
+ Nếu  > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2, trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 trong đó x1, x2 (x1 < x2) là hai nghiệm của f(x).
Chú ý:
Trong định lí trên, có thể thay biệt thức  = b2 - 4ac bằng biệt thức thu gọn ’ = b’2 - ac.
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
I. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
2. Dấu của tam thức bậc hai
Minh hoạ bằng sơ đồ khối:
f(x) = ax2 + bx + c
 = b2 - 4ac
 > 0
a.f(x) > 0, xR.
a.f(x) > 0, x  - b/2a.
 = 0
 > 0
a.f(x) > 0, x (-; x1)  (x2; +).
a.f(x) > 0 x (x1; x2)
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
I. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
2. Dấu của tam thức bậc hai
Minh hoạ hình học:
y
x
O
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
y
x
O
+
+
+
+
+
+
+
+
y
x
O
+
+
+
+
+
+
-
-
-
x1
x2
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
-
x1
x2
-
-
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
I. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
2. Dấu của tam thức bậc hai
Nhận xét:
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c. Khi đó:
Từ định lí về dấu của tam thức bậc hai hãy cho biết:
f(x) > 0 x R, f(x) < 0 x R
khi nào?
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
I. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
3. Áp dụng
Ví dụ 1. Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a) f(x) = 2x2 - x + 1.
b) f(x) = 9x2 - 24x + 16.
c) f(x) = -2x2 + 3x + 2.
Giải:
a) f(x) có  = - 7 < 0, hệ số a = 2 > 0 nên f(x) > 0 với mọi x
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
I. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
3. Áp dụng
Chú ý:
Dấu của tam thức f(x) = -2x2 + 3x + 2 có thể được ghi trong bảng xét dấu của f(x) như sau:
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
I. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
3. Áp dụng
Giải
x2 - 4x + 3 = 0  x = 1, x = 3.
x2 + 2x - 8 = 0  x = 2, x = -4
Bảng xét dấu:
0
0
0
0




+
+
-
-
+
+
-
-
+
+
||
||
0
0
+
-
+
-
+
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
I. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
3. Áp dụng
Ví dụ 3. Với giá trị nào của m thì biểu thức f(x) = (2 - m)x2 - 2x + 1 luôn dương với mọi x  R.
Giải:
Với m = 2 thì f(x) = -2x + 1 lấy cả giá trị âm (chẳng hạn f(1) = -1). Do đó, giá trị m = 2 không thoả mãn điều kiện đòi hỏi.
Với m  2, f(x) là tam thức bậc hai với ’ = m - 1. Do đó
Vậy với m < 1 thì f(x) luôn dương.
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
CỦNG CỐ
Qua bài học này các em cần:
+ Biết được định nghĩa tam thức bậc hai.
+ Hiểu và biết và biết vận dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.
Bài tập về nhà: Bài 1, 2 SGK trang 105.