Chương IV. §5. Dấu của tam thức bậc hai

kính chào các thầy cô giáo
cùng các em học sinh !
Welcome !
Xét dấu của biểu thức sau: f(x)=(x+1)(6-2x).
Vậy:
f(x)=(x+1)(6-2x)=-2x2+4x+6 gọi là một tam thức bậc hai.

Tiết 58: Dấu của tam thức bậc hai
1. Tam thức bậc hai
Định nghĩa:
Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x)=ax2+bx+c với a,b,c là các số cho trước (a?0).
Chú ý:
Ví dụ:
Nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 + bx +c =0 (a? 0)
cũng được gọi là nghiệm của tam thức f(x) = ax2 + bx+c.
Bài Mới
? = b2 -4ac và ?`=b`2 - ac với b = 2b` theo thứ tự cũng được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức f(x) = ax2 + bx +c.
?>0
x
y
O
x
y
O
a>0
a<0
Dấu của tam thức bậc hai
2. Dấu của tam thức bậc hai
Định lý (về dấu của tam thức bậc hai):
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx +c =0 (a?0).
Nếu ? <0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a mọi x ? r.
Nếu ? =0 thì f(x) cùng dấu với hệ số với a với mọi x ? -b/2a.

Nếu ? >0 thì f(x) có hai nghiệm x1 và x2 (x1Khi đó, f(x) trái dấu với hệ số a với ? x ?(x1;x2).
và f(x) cùng dấu với hệ số a với ? x ?(-?;x1)?(x2;+?).
Chú ý: Trong định lý trên có thể dùng ?` thay cho ?.
x
y
O
x
y
O
b. Nhận xét:
- Nếu tồn tại x0 sao cho af(x0)<0 thì tam thức bậc hai luôn có
nghiệm phân biệt.
- Nếu tồn tại x1, x2 sao cho f(x1)f(x2)<0 thì tam thức bậc hai luôn
có hai nghiệm phân biệt.

c. Ví dụ:
Ví dụ 1. Xét dấu các tam thức sau:

Giải:
Nhận thấy x2-x+1 có biệt thức ?=-3<0; hệ số a=1>0
? x2 -x+1>0 với ?x?R. Nên dấu của g(x) là dấu của biểu thức h(x)=(x2-2x)(-x2+5x-6)
Vậy: g(x)<0 với x?(- ?;0)?(3;+ ?)
g(x)>0 với x ?( 0;2)?(2;3)

Nhận xét: Điều kiện để tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c không thay đổi dấu
* Với m+2=0?m=-2
f(x)=0.2-0.(-2)+3=1>0 với ?x?R
Do đó m=-2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
* Với m+2?0?m ? -2
?x?R; f(x)>0 ? m+2>0
?`<0

Vậy để f(x) luôn dương với ?x?R thì m?-2.
Bài tập áp dụng
Giải: (1) ?x2+2(y+1)x+4y2-4y+4 ?0
Xét ?`=(y+1)2-4y2+4y-4
=-3y2+6y-3=-3(y-1)2?0 với ?y ?R
Do đó x2+2(y+1)x+4y2-4y+4 ?0 với ?x, y ?R.

Dấu đẳng thức xảy ra khi:






1. Cho hai số thực x, y. Chứng minh rằng:
(x+2y)2?2(x+2)(y-1) (1)
đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài tập áp dụng





2. Cho các số thực a, b, c dương thỏa mãn abc=1 và a3?36.
Chứng minh rằng:
Gợi ý; Đưa về tam thức bậc hai với biến là (b+c) và chứng minh
??0.
Củng cố Bài học
* Định lý về dấu của tam thức bậc 2 f(x)=ax2+bx+c(a?0)
* Bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) với các trường hợp ?<0; ?=0; ?>0 theo dấu của hệ số a
* Điều kiện để tam thức bậc hai f(x) không đổi dấu với mọi x?R
Bài tập về nhà:
Bài tập 49, 50, 51, 52 (sgk trang 140, 141)