Chương IV. §5. Dấu của tam thức bậc hai

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG
1.1. Tam thức bậc hai
Ta cã bất đẳng thức cơ bản:


Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Gần với bất đẳng thức (1.1) là bất đẳng thức dạng sau:


hay
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG
Xét tam thức bậc hai:


Khi đó



với
Định lý 1.1. Xét tam thức bậc hai:



i) Nếu thì

ii) Nếu thì Dấu đẳng thức xảy ra


khi và chỉ khi
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG

iii) Nếu thì với




Trong trường hợp này, khi

và khi hoặc


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG

Định lý 2. (Định lý đảo). Điều kiện cần và đủ để tồn tại số sao
cho

là:

và

trong đó: là các nghiệm của xác định theo (1.2).

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG

Định lý 3. Với mọi tam thức bậc hai có nghiệm thực đều tồn tại một

nguyên hàm là đa thức bậc ba, có ba nghiệm đều thực.











Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG

Định lý 4. Tam thức bậc hai có nghiệm (thực)

khi và chỉ khi hệ số có dạng:










Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG







1.1.2 Ph­¬ng ph¸p:
Xét đa thức thuần nhất bậc hai hai biến (xem như tam thức bậc hai đối với )



Khi đó, nếu thì

Vậy khi và thì hiển nhiên


trường hợp riêng khi ta nhận lại được kết quả


hay

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG
1.1.3 Áp dụng lý thuyết:

Ví dụ 1. Cho là các số thực sao cho Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức


Ví dụ 2. Cho Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu

thức

Ví dụ 3. Cho Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu

thức