Chương IV. §5. Dấu của tam thức bậc hai

bất phương trình và
hệ bất phương trình bậc hai
ôn tập chương IV

Phần 1: Phương trình bậc hai một ẩn
Phần 2: Hệ phương trình bậc hai hai ẩn
Phần 3: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc hai một ẩn
Phần 4: Phương trình và bất phương trình qui về bậc hai
Định lí về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức : f(x) = ax? + bx + c (a ? 0)
và D = b2 - 4ac.

Định lí.
Nếu D < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, với mọi số thực x.
Nếu D = 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi x ? - ?/??.
Nếu D > 0 thì f(x) có hai nghiệm x? và x? và giả sử x? < x?.
Thế thì f(x) cùng dấu với a với mọi x ngoài đoạn ? x? ; x? ?
(tức là x < x? hay x > x? ) và f(x) trái dấu với a khi x ở trong
khoảng hai nghiệm ( tức là x? < x < x? ).
Ví dụ áp dụng:
Giải các bất phương trình sau:
a)3x2 + 7x - 6 < 0
b) -x2 + 6x + 16 ? 0
c) 9x2 + 6x +19 > 0
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax? + bx + c (a? 0), ?? R.
af(?) < 0
* f(x) có hai nghiệm phân biệt x?, x? (x? < x?)
1) Định lí.
* x? < ? < x?.
§Þnh lÝ ®¶o vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai
2) Hệ quả 1.
Phương trình bậc hai f(x) = ax? + bx + c = 0 (a ? 0) có hai
nghiệm phân biệt x? , x? (x? < x?)
3) Hệ quả 2.
Cho tam thức f(x) = ax? + bx + c (a ? 0). Và hai số a, b (a < b).
Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm,
một nghiệm ? (a, b), nghiệm kia nằm ngoài đoạn [a, b]
? f(a).f(b) < 0 (1)
af(a ) < 0.
? ?số a :
*) Ví dụ áp dụng
Cho tam thức bậc hai
f(x) = ( m2 +1)x2 - ( m4 + m2 + 1 )x + m4 - m2 - 1
Chứng minh phương trình f(x) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt ? m.
Bài giải
Ta có f(1) =
m2 + 1 - m4 - m2 + 1 + m4 - m2 - 1 =
- ( m2 + 1)
Do đó a.f(1) =
- ( m2 + 1)2
< 0
? m.
Theo định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
phương trình f(x) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt ? m.
So sánh một số ? với các nghiệm của tam thức bậc hai
Tính af(?)
f(x) có 2 nghiệm x1< ? < x2
= 0
? là nghiệm của f(x)
-
Tính ? (?`)
+
f(x) vô nghiệm
-
+
Tính ( S/2 - ? )
= 0
f(x) có ngkép x0 = -b/2a và so sánh x0 với ?
f(x) có 2 nghiệm ? < x1 < x2
-
f(x) có 2 nghiệm x1+
Bài 8 Trang 129
So sánh số -3 với các nghiệm của phương trình:
(m2 +1)x2 - 2(m+ 2)x -2 = 0
Bài giải:
Ta có: f(-3) =
9(m2 + 1) + 6(m+2) -2
= 9m2 + 6m +19
> 0 ? m.
af(-3) =
(m2 + 1)( 9m2 + 6m +19)
> 0 ? m
?` =
(m+2)2 + 2(m2 +1) =
3m2 + 4m + 6
> 0 ? m.
m+2
m2+1
+3
=
3m2+m+5
m2+1
> 0 ? m.
Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
x1 , x2( x1 < x2) và -3 < x1 < x2
Bài 9 Trang 129
Cho phương trình: (m+1)x2 + 2(m-2)x + 2m -12 =0
Xác định m để :
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn 1
c) Phương trình có một nghiệm thuộc khoảng (-1;1)
còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;1]
Bài giải:
a)Phương trình có hai nghiệm trái dấu ? ac < 0
? (m+1)(2m-12) < 0
? -1 < m < 6
Bài 9 Trang 129
Cho phương trình: (m+1)x2 + 2(m-2)x + 2m -12 =0
Xác định m để :
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn 1
Bài giải:
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn 1 (1 < x1 < x2)
?
af(1) > 0
?` > 0
?
(m+1)(5m - 15) > 0
-m2+6m+16 > 0
1- 2m
m+1
> 0
?
m < -1
m > 3
-2 < m < 8
-1 < m < 1/2
Hệ bất phương trình trên vô nghiệm , suy ra không có giá trị nào của m thoả mãn yêu cầu bài toán
Bài 9 Trang 129
Cho phương trình: (m+1)x2 + 2(m-2)x + 2m -12 =0
Xác định m để :
c) phương trình có một nghiệm thuộc khoảng (-1;1)
còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;1]
?
m + 1 ? 0
(m-7)(5m-15) < 0
m ? -1
3 < m < 7

?
?
Bài giải:
phương trình có một nghiệm thuộc khoảng (-1;1)
còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;1]?
a ? 0
?
f(-1)f(1) < 0
3 < m < 7