Chương IV. §3. Dấu của nhị thức bậc nhất

1
Sở giáo dục và đào tạo cao bằng
Trường thpt nguyên bình

Chuyên đề
dấu của nhị thức bậc nhất ax + b ( a # 0)
Họ và tên: Nguyễn Văn Thông
Trường: THPT - THCS Nguyên Bình.
Năm học: 2008 -2009
2
Mục lục
Đề mục trang
Chuyên đề: Dấu của nhị thức bậc nhất 3
ax + b ( a# 0)
A - Đặt vấn đề 3
B - Nội dung 3
1- Giải phương trình và bất phương trình có dấu giá trị tuyệt đối 3
2 - Giải bất phương trình tích và thương 8
3 - Biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối 9
C - Điều kiện áp dụng 10
Một số bài toán áp dụng 11
Đáp số và lời giải đáp 12

3
Chuyên đề: Dấu của nhị thức bậc nhất
A - Đặt vấn đề
ta đã gặp 1 số phương trình mà để giải ta phải xét dấu của nhị thức bậc nhất có dạng ax + b ( a# 0)
xét dấu của nhị thức ax + b ( a # 0) nghĩa là xét xem với giá trị nào của x thì ax + b < 0. Đương nhiên ax + b = 0 x = -b/a
giá trị x = -b/a gọi là nghiệm của nhị thức và khi nào thì ax + b > 0.

B. Nội dung
I. Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất
Nhị thức ax + b ( a ? 0) cùng dấu với a khi giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức và khác dấu với a khi giá trị của x nhỏ hơn nghiệm

4
II.ứng dụng
1) Giải phương trình và BPT có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
Bài 1: Giải PT
a) | x - 1| + | x - 4| = 3 (1)
b) | x2 -5x - 6| = x2 + x - 24 (2)
c) | x - 1| - 2 | x - 2| + 3 | x - 3| = 4 (3)
lời giải:
a) | x - 1| + | x - 4| = 3 (1)
Bảng xét dấu




Xét khoảng x< 1
(1) 1 - x + 4 - x = 3
- 2x = -2
X = 1 ( loại) không thuộc khoảng xét dấu


5
Xét khoảng 1 ? x < 4
( 1) x - 1 - x + 4 = 3
0x = 0
nghiệm tuỳ ý trong khoảng xét
Xét khoảng x > 4
( 1) x - 1 + x - 4 = 3
2x = 8
x = 4
Kết luận: nghiệm của PT : x ? 4
b) | x2 - 5x - 6 | = x2 + x - 24 ( 2)
|( x - 6)( x + 1)| = x2 + x - 24 .




* Xét khoảng : x < -1 * Xét khoảng 1 ? x ? 6
(2) x2 - 5x - 6 = x2 + x - 24 ( 2) - x2 + 5x + 6 = x2 + x - 24
- 6x = - 18 x2 - 2x - 15 = 0
x = 3 ( loại) ( x- 5)( x -+3) = 0
x - 5 = 0 x = 5
x + 3 = 0 x = -3 ( loại)



6
Xét khoảng x > 6 ( giống x < -1)
( 2) - 2x = -2
x = 1 ( loại)
KL : S = { 5 }.
c) | x - 1| - 2| x - 2| + 3| x - 3| = 0 ( 3) Để H/S giải
* Xét khoảng : x < 1 x = 1 ( loại)
* Xét khoảng: 1 ? x ? 2 0x = 0 nghiệm tuỳ trong khoảng xét
* Xét khoảng: x ? 3 x = 5.
Kết luận: nghiệm của PT : x = 5; 1 ? x ? 2
Bài 2: Giải và biện luận PT theo tham số m:
a) 2| x - m| + | x + 2m| = 7m.
b) m2 - 2m| x + m| = x
x
Lời giải:
a) 2| x - m| + | x + 2m| = 7m (4)
Vì m> 0 -2m < m

7
* Xét x < -2m
( 4) 2(m - x) - x - 2m = 7x
2m - 2x - x - 2m = 7x
- 3x = 7m
x = - 7m/3 ( < -2m)
* Xét khoảng - 2m ? x < m
( 4) -2x + 2m + x + 2m
-x = 3m
x = -3m ( loại)
* Xét khoảng x ? m
( 4) 2(m - x) - x - 2m = 7x
- 2x - 2m + x + 2m = 7m
3x = 7m x = 7m/3
S = { -7m/3; 7m/3 }.
b) m2 - 2m| x + m | = x ( 5) DKXD: x ? 0
x


8
Xét khoảng x - m
(5) m2 - 2m| x + m | = x m2 + 2m(m +x) = x2
x
x +m)(x -3m) = 0 x = - m ( loại)
x = 3m x = 3m ( m<0)

Xét khoảng x ? -3 thì
( 5) m2 -2m(x + m) = x2 (x + m)2 = 0
x = - m ( thuộc khoảng xét)
KL: nếu m = 0 (5) có nghiệm x = -m và x = 3m ( không thuộc DKXD )
là x ? 0.
- Nếu m > 0 thi (5) có nghiệm x = - m
- Nếu m < 0 thi ( 5) có nghiệm x = - m, x = 3m.





9
Bài 3: Giải bất phương trinh:
a) | x + 3| + | x - 1| < 0. ( 6)
b) | x + 2| - 3| x -1| < 2 | x + 4| . ( 7)
Lời giải:
a) | x + 3| + | x - 1| < 0. ( 6)



* Xét khoảng x < -3
(6) -x - 3 - x + 1 < 6 -2x < 8 x > -4
vậy - 4 < x< -3
* Xét khoảng -3 ? x? 1
( 6) x + 3 - x + 1 < 6 0x < 2
Nghiệm tuỳ ý trong khoảng đang xét
* Xét khoảng x ? 1
( 6) x+ 3 + x - 1 < 6 2x <4 x < 2
1 < x < 2.
KL: Nghiệm của BPT là -4 < x < 2

10
b) | x + 2| - 3| x - 1| < 2(x + 4) ( 7).





* Xét khoảng X < -2
( 7) - x -2 + 3( x - 1) < 2 ( x + 4)
- x -2 + 3x - 3 < 2x + 8
2x < 9
x < 4,5 ( Nghiệm tuỳ ý trong khoảng đang xét)
* Xét khoảng X > 1
(7) x + 2 - 3(x - 1) < 2(x +4)
x + 2 - 3x + 3 < 2x + 8
- 4x < -3
x > 3/4 ( Nghiệm tuỳ ý trong khoảng đang xét)
KL : Nghiệm của BPT là tuỳ ý.







11
Bài 4: Cho : | x - 5| + | x - 7| < m ( trong đó m > 0) (8).
Hỏi m có thể lấy những giá trị nào?




* Xét khoảng x < 5
VT: T = -x +5 -x + 7
T = 12 - 2x > 2
* Xét khoảng 5 ? x ? 7
VT: T = x - 5 - x + 7
T = 2
* Xét khoảng x > 7.
VT : T = x - 5 + x - 7
T = 2x - 12 > 2
Vậỵ với mọi x ; T ? 2 để T < m m > 2.









12
2) Giải BPT tích và thương
Bài 1: Giải BPT x2 - 9 < 0 ( 1)
x2 - 3x - 4
Mẫu: x2 - 3x - 4 Đặt x2 = X ? 0

x2 - 3x - 4 có nghiệm X1 = 4; X2 = -1 (loại)
x1 = 2; x2 = -2
vậy x4 - 3x2 - 4 = ( x + 2)(x - 2)( x2 + 1)

(1) ( x-3)( x + 3) < 0 ĐKXĐ: x ? � 2
( x -2)( x+ 2) x2 + 1)







Nghiệm của BPT : -3 < x < -2 ; 2 < x< 3.

13
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của PT:
a) x4 - 5x3 + 7x2 - 3x < 0
b) x6 - 2x4 - 7x2 - 4 < 0

Bài giải:
a) x4 - 5x3 + 7x2 - 3x
= x( x3 - 5x2 +7x -3)
= x( x- 3) ( x -1)2






BPT có nghiệm: o< x < 3 ( trừ 1)
Nghiệm nguyên x thuộc { 2 }
14
x6 - 2x4 - 7x2 - 4 < 0 Đặt x2 = X ? 0
X3 - 2X2 - 7X - 4 < 0

Có nghiệm X1 = 4; X2 = -1 ( loại)
x = � 2
vậy X3 - 2X2 - 7X - 4 < 0

( x - 2)(x + 2)(x2 + 1)2 < 0







Nghiệm của BPT -2 < x < 2
Nghiệm nguyên của BPT x thuộc { -1; 0; 1}
15
3) Biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Bài 1: Cho: M = | x + 3| + ( x2 + 5x + 6)
x3 + 7x2 + 15x + 9
a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị của M với x = -2
c) Tìm giá trị của x để M = -1/5.
Lời giải:
M = | x + 3| + ( x2 + 5x + 6)
x3 + 7x2 + 15x + 9
* Nếu x < -3 thì
M = -( x + 3) + (x + 3)(x + 2) (x + 3)( x + 2 - 1)
M 1
x + 3
* Nếu x > -3 thì
M ( x + 3) + (x + 3)(x + 2) (x + 3)( x + 3)

M 1
x + 1
( x + 1)( x + 3)2
( x + 1)( x + 3)2
=
=
( x + 1)( x + 3)2
( x + 1)( x + 3)2
=
=
=
16
b)* Xét x - 2 > -3 thì M = - 1 = -1
-2 + 1
c)* Xét x < -3 thì M = -1 1 = -1
5 x + 3 5

x = - 8
Thuộc khoảng xét
* Xét x > -3 thì:
M = - 1 1 = -1
5 x + 3 5

x = 6
Không thuộc khoảng xét
Vậy M = - 1
5
x = - 8
17
Bài 2:
cho P = | x2 - x + 1| + | x2 - x - 2|
= | x2 - x + 1| + | - x2 + x + 2| ? | x2 - x + 1 - x2 + x + 2 |
= | 3 |
= 3
Dấu " = " xảy ra khi (x2 - x + 1)(- x2 + x + 2) ? 0
Ta có: x2 - x + 1 = x2 - x + 1 + 3
4 4
= ( x + 1/2)2 + 3 > 0
4
Vậy dấu " = " xảy ra 2 + x - x2 ? 0 x2 + x + 2 ? 0
( x + 1)( x - 2) ? 0
- 1 ? x ? 2
Vậy min P = 3 khi - 1 ? x ? 2

18
C . Điều kiện ứng dụng
Việc xét dấu của nhị thức bậc nhát có nhiều ứng dụng :
- Giải bất phương trình tích bằng cách xét dấu các nhân tử của tích. Nếu số nhân tử âm mà chẵn thì tích dương, trái lại tích sẽ âm.
- Giải bất phương trình thương bằng cách xét dấu của tử thức và mẫu thức. Nếu tử và mẫu cùng dấu thì thương sẽ dương, trái lại sẽ âm.
- Giải phương trình và bất phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối bằng cách khử dấu giá trị tuyệt đối nhờ xét từng khoảng giá trị của ẩn.
- Rút gọn biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng cách khử dấu giá trị tuyệt đối nhờ xét từng khoảng giá trị của giá trị tuyệt đối.
19
D. Một số bài toán áp dụng:
Bài 1: Giải PT
a) | x - 1| + | x - 4| = 3
b) | 3x - 1| - | 2x + 5| = 4
c) | x2 - 5x - 6| = x2 + x - 24
Bài 2: Giải PT : | x - 1| - 2| x - 2| + 3| x - 3| = 4
Bài 3: Tính tổng các nghiệm của các PT sau:
|2x + 3| = 3| 2x - 3|
Bài 4: Giải BPT:
x( x + 1) > 5
22
Bài 5: Giải BPT x2 - 2x + 1 < 9
Bài 6: Tìm điều kiện của x để BT sau có giá trị âm:
A = 1- x _ x + 3 : x + 3 _ x - 1
x + 3 x - 1 x - 1 x + 3
Bài 7: cho:
P = 4x - x3 _ x : 4x2 - x4 + 1
1 - 4x2 1 - 4x2
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị của x để P > 0
20
Đáp án:
Bài 1:
a) Xét x < 0 được x = 1 ( loại)
xét 0 ? x ? 4 0x = 0 Nghiệm tuỳ ý trong khoảng xét
Xét x > 0 x = 4 ( loại)
Vậy 1 ? x ? 4
b) Xét x < _- 5/2 được x = 2 ( loại)
Xét -5/2 ? x ? 1/3 x = -1,6
Xét x > 1/3 được x = 10
Vậy S = { -1,6; 10}
c) Xét x ? 6 hoặc x ? -1 được x = 3 ( loại)
Xét -1 < x < 6 được x2 - 2x - 15 = 0
x = 5
x = -3 ( loại)
S = { 5}
Bài 2:
Xét x < 1 được x = 1( loại)
Xét 2 , x , 3 được x = 2 ( loại)
Xét x ? 3 được x = 5
Nghiệm x = 5 ; 1 ? x ? 2
21
Bài 3:
(1) 2x + 3 = 3( 2x - 3) x = 3
2x + 3 = -3( 2x - 3) x = 3/4
Tổng nghiệm : 3,75
Bài 4: x > 10
x < 11
Bài 5: -2 < x , 4
Bài 6:
A = - x2 + 2x + 5
4 ( x + 1)
A < 0
x > -1 ; x ? 1