Chương IV. §1. Số phức

TRƯỜNG THPT THANH BÌNH
NĂM HỌC 2015 - 2016
Chuyên đề
SỐ PHỨC
Tổ Toán – Tin
Trường THPT Thanh Bình
Thực hiện
SỐ PHỨC
TRƯỜNG THPT THANH BÌNH
NĂM HỌC 2015 - 2016
Chương IV
SỐ PHỨC
I. Số phức
II. Cộng, trừ, nhân và chia số phức
III. Phương trình bậc hai với hệ số thực
V. Bài tập về số phức
IV. Phương trình bậc hai với hệ số phức
Chuyên đề
SỐ PHỨC
I. SỐ PHỨC
TRƯỜNG THPT THANH BÌNH
TỔ TOÁN – TIN
BẢNG TÓM TẮT
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Với mong muốn mở rộng tập các số thực để mọi phương trình bậc n đều có nghiệm, người ta đưa ra một số mới.
?
Phương trình: ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)
²
∆ = b – 4ac Kết luận
²
∆ > 0
∆ = 0
∆ < 0
²
(1) có 2 nghiệm phân biệt:
x =
– b ±
∆
─
2a
¹
’
(1) có một nghiệm:
x =
– b
2a
(1) vô nghiệm.
I. SỐ PHỨC
i =-1
2
1. Số i được coi là nghiệm của phương trình :
2. Định nghĩa số phức:
Mỗi biểu thức dạng: a + bi, trong đó a,b  R; i2 = -1 được gọi là một số phức.
Với số phức z = a + bi:
a là phần thực của số phức.
b là phần ảo của số phức.
- Tập hợp các số phức, kí hiệu: C
và: N  Z  Q  R  C
I. SỐ PHỨC
Quan hệ giữa các tập hợp số:
N  Z  Q  R  C
Z
C
R
Q
N
Ví dụ 1. Xác định phần thực, phần ảo của mỗi số phức sau:
3
2
-5
4
0
-2
7
0
Biểu đồ VEN
Số thực
Số thuần ảo
3. Số phức bằng nhau:
I. SỐ PHỨC
Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
a + bi = c + di  a = c và b = d
Ví dụ 2. Tìm các số thực x; y, biết:
1. (3x – 2 ) + (2y + 1)i = (x + 1) – (y – 5)i
Giải.
Ví dụ 2. Tìm các số thực x; y, biết:
2). (1 – 2x ) + i3 = 5 + (1 – 3y)i
3). (2x + y ) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x + 1)i
I. SỐ PHỨC
3. Số phức bằng nhau:
I. SỐ PHỨC
Chú ý:
 Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0
Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức
 Số phức: z = 0 + bi được gọi là số thuần ảo
 Số i được gọi là đơn vị ảo
Ta viết: z = a + 0i
2. Định nghĩa số phức:
1. Số i:
3. Số phức bằng nhau:
I. SỐ PHỨC
4. Biểu diễn hình học của số phức:
y
x
x`
y`
O
 Trong hệ tọa độ vuông góc (x’ox; y’oy), điểm M(a;b) được gọi là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi
M
a
b
 Một số phức z = a + bi hoàn toàn được xác định bởi cặp số thực (a; b)
I. SỐ PHỨC
4. Biểu diễn hình học của số phức:
y
x
x`
y`
O
 Điểm A( 2; 3) là điểm biểu diễn của số phức z1 = 2 + 3i
A
2
3
Ví dụ 3.
B
-3
2
-1
-4
E
 Điểm B( -3; 2) là điểm biểu diễn của số phức z2 = -3 + 2i
 Điểm E( -1; - 4) là điểm biểu diễn của số phức z3 = -1 - 4i
I. SỐ PHỨC
4. Biểu diễn hình học của số phức:
y
O
x`
y`
 Điểm H( 2; 0) là điểm biểu diễn của số phức z4 = 2 + 0i, điểm H nằm trên trục hoành
?
K
Các điểm biểu diễn số thực, số thuần ảo nằm ở đâu trên mặt phẳng tọa độ?
x
.
H
2
 Điểm K( 0; -3) là điểm biểu diễn của số phức z5 = 0 - 3i, điểm K nằm trên trục tung
.
-3
 Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ các số phức:
z4 = 2 và z5 = -3i
z4 = 2 là số thực
z5 = -3i là số thuần ảo
Mặt phẳng biểu diễn số phức gọi là mặt phẳng phức
I. SỐ PHỨC
4. Biểu diễn hình học của số phức:
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
y
x
x`
y`
O
a/. Phần thực của z bằng –2
-2
2
-1
Số phức z = -2 + bi (b  R)
Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa điều kiện đã cho là đường thẳng d: x = –2
Giải
d
I. SỐ PHỨC
4. Biểu diễn hình học của số phức:
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
y
x
x`
y`
O
b/. Phần ảo của z bằng 3
3
Số phức z = a + 3i (a  R)
Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa điều kiện đã cho là đường thẳng d: y = 3
Giải
d
I. SỐ PHỨC
5. Môđun của số phức:
y
O
x`
y`
x
M
a
b
.
 Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng tọa độ
 Độ dài của vectơ OM được gọi là môđun của số phức z
 Ký hiệu: z= a + bi
 Công thức: z= a2 +b2
Ví dụ 4. Tính môđun của mỗi số phức sau:
z= 3+2i = 32 + 22 = 13
z= -5+4i = (-5)2 + 42 = 41
z= -3+4i = (-3)2 + 42 = 5
I. SỐ PHỨC
6. Số phức liên hợp:
y
x
x`
y`
O
M1
a
b
-b
M2
 Điểm M1( a; b) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi
 Điểm M2( a; -b) là điểm biểu diễn của số phức z = a - bi
 Cho số phức z = a + bi, ta gọi a – bi là số phức liên hợp của số phức z và kí hiệu: z = a - bi
 Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm biểu diễn của z và z đối xứng nhau qua trục Ox
 Chú ý: z = z ; z= z
I. SỐ PHỨC
6. Số phức liên hợp:
Ví dụ 5. Hãy điền vào các chỗ còn trống với các kết quả thích hợp:
¯
Z = 3 – 4i
¯
z= 32 + (4)2 = 5
Z = 2 + 5i
¯
z= 22 +(-5)2 =
29
Z = 1 - 3i
¯
z= 10
Z = 9i
¯
z= 9
Chuyên đề
SỐ PHỨC
II. CỘNG, TRỪ, NHÂN VÀ CHIA SỐ PHỨC
TRƯỜNG THPT THANH BÌNH
TỔ TOÁN – TIN
II. CỘNG, TRỪ, NHÂN VÀ CHIA SỐ PHỨC
1. Cộng hai số phức
Cho hai số phức:
z = a + bi, z = c + di
²
¹
z + z = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
²
¹
2. Trừ hai số phức
z – z = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
²
¹
3. Nhân hai số phức
z . z = (a + bi).(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
²
¹
4. Chia hai số phức
z
¹
²
a + bi
²
z
²
=
c + di
=
(a + bi).(c – di)
(c + di).(c – di)
=
ac + bd
c + d
²
²
(bc – bd)i
c + d
+
II. CỘNG, TRỪ, NHÂN VÀ CHIA SỐ PHỨC
Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính sau:
= (3 + 2) + (-5 + 4)i = 5 – i
= (– 2 –1) + (– 3 – 7)i = –3 – 10i
= (4 –5) + (3 + 7)i = –1 + 10i
= ( 2 –5) + (– 3 +4)i = –3 +i
= 4 + 3i
Chú ý 1: Phép cộng, phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức
II. CỘNG, TRỪ, NHÂN VÀ CHIA SỐ PHỨC
Chú ý 2:
Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay i2 = -1 trong kết quả nhận được.

(a + bi).(c + di) = ac + adi + bci + bdi2
Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính sau:
1/. (2 – 3i).(3 – 2i)

= (ac – bd) + (ad + bc)i
= 6 – 4i – 9i + 6i2
= – 13i
2/. (–1 + i).(3 + 7i)
= –3 – 7i + 3i + 7i2
= –10 – 4i
3/. 5(4 + 3i)
= 20 + 15i
4/. (– 2 – 5i).4i
= –8i – 20i2
= 20 – 8i
Chú ý 3 :
 i2 = – 1
 i3 = i2.i = – i
 i4 = i3.i = – i2 = 1
 i = i
 i6 = i5.i = i2 = – 1
 i7 = i6.i = – i
 i8 = i7.i = – i2 = 1
 i5 = i4.i = i
 i10 = i9.i = i2 = – 1
 i11 = i10.i = – i
 i12 = i11.i = – i2 = 1
 i9 = i8.i = i
 i14 = i13.i = i2 = – 1
 i15 = i14.i = – i
 i16 = i15.i = – i2 = 1
 i13 = i12.i = i
Tổng quát:
 in = i4qr = ir
II. CỘNG, TRỪ, NHÂN VÀ CHIA SỐ PHỨC
Nếu: n  4q  r, 0  r  4 thì:
 i5 = i4.11 = i
 i10 = i4.22 = i2 = – 1
 i15 = i4.33 = i3 = – i
 i2014 = ?
 i2014 = i4.5032 = i2 = – i
II. CỘNG, TRỪ, NHÂN VÀ CHIA SỐ PHỨC
Cho số phức z = a + bi, trong đó a,b  R
Số phức liên hợp của z: z = a + bi
¯
Tổng và tích hai số phức liên hợp:
z + z = 2a
¯
z . z = a + b = lzl
¯
²
²
²
Tổng và tích hai số phức liên hợp là một số thực
Nghịch đảo của một số phức:
z
1
─
=
z
¯
lzl²
=
a + b
²
²
a + b
²
²
a
bi
–
Chú ý: (1+ i)² = 2i, (1– i)² = – 2i
II. CỘNG, TRỪ, NHÂN VÀ CHIA SỐ PHỨC
2 + i
=
3 – 2i

(2 + i).(3 + 2i)
(3 – 2i).(3 + 2i)
=
4 + 7i
13
+
Ví dụ 3: Thực hiện các phép tính sau:
1.
1 + i
2.
5i
2 – 3i
3.
2
1 – 2i
4.
(2 + 3i)²+i³
(1 – i)²
5.
2
¯

2 + i
3
¯
=
=
=
=
=
4
13
7i
13

(1 + i
2
¯
)

(2 + i
3
¯
=
7
).
.(2 – i

2 +
6
¯
–

3
¯
)
(2 – i

3
¯
)
+
7

(2
2
¯
)i

3
¯
5i
(2 – 3i).
= –
(2 + 3i)
(2 + 3i)
+
15
13
10i
13
2
(1 – 2i).
=
(1 + 2i)
(1 + 2i)
+
2
5
4i
5
(– 5 + 11i).2i
( – 2i).2i
5i
2
–
=
11
2
–
Chuyên đề
SỐ PHỨC
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
TRƯỜNG THPT THANH BÌNH
TỔ TOÁN – TIN
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Căn bậc hai của số thực dương.
?
Căn bậc hai của số thực dương a là ±
a
─
Ví dụ 1.
, vì (± a )² = a
─
Căn bậc hai của số thực âm.
Căn bậc hai của số thực âm a là ±
ilal
─
, vì (± i2)² = 2i² = –2
─
1. Căn bậc hai của –2 là ±
i2
─
, vì (± i5)² = 5i² = –5
─
2. Căn bậc hai của –5 là ±
i5
─
, vì (± 3i)² = 9i² = –9
3. Căn bậc hai của –9 là ±
i9 = ± 3i
BẢNG TÓM TẮT
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
?
Phương trình: ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)
²
∆ = b – 4ac Kết luận
²
∆ > 0
∆ = 0
∆ < 0
²
(1) có 2 nghiệm thực
phân biệt:
x =
– b ±
∆
─
2a
¹
’
(1) có một nghiệm thực:
x =
– b
2a
²
(1) có 2 nghiệm phức:
x =
– b ±
il∆l
2a
¹
’
Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt)
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Ví dụ 2.
Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức
1) 2z² – 5z + 4 = 0 (1)
Giải
∆ = 25 – 32 = –7 = 7i²
Nghiệm của phương trình (1)
z =
4
5 – i7
¹
─
z =
4
5 + i7
²
─
4
5
─
–
i7
4
─
=
=
4
5
─
+
i7
4
─
2) 7z² + 3z + 2 = 0 (2)
Giải
∆ = 9 – 56 = – 47 = 47i²
Nghiệm của phương trình (2)
z =
14
-3 – i47
¹
=
–
3
14
–
i47
14
z =
14
-3 + i47
²
=
–
3
14
+
i47
14
Sử dụng máy tính để kiểm tra kết quả.
BẢNG TÓM TẮT
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Phương trình: ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)
²
∆’ = b’ – ac Kết luận
²
∆’ > 0
∆’= 0
∆’ < 0
²
(1) có 2 nghiệm thực
phân biệt:
x =
– b’ ±
∆’
─
a
¹
’
(1) có một nghiệm thực:
x =
– b’
a
²
(1) có 2 nghiệm phức:
x =
– b’ ±
il∆’l
a
¹
’
Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt)
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Ví dụ 2.
Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức
3) z² – 4z + 7 = 0 (3)
Giải
∆’ = 4 – 7 = –3 = 3i²
Nghiệm của phương trình (3)
4) 8z² + 4z + 1 = 0 (4)
Giải
∆’ = 4 – 8 = – 4 = 4i²
Nghiệm của phương trình (4)
Sử dụng máy tính để kiểm tra kết quả.
z =
2 – 3i
¹
z =
2 + 3i
²
–
z =
¹
z =
²
─
4
1
─
+
i
4
─
–
4
1
─
i
4
–
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Ví dụ 3.
Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức
1) z + z² – 6 = 0 (1)
Giải
4
Đặt: t = z²
(t  C)
Phương trình (1) thành:
t² + t – 6 = 0
t = 2
-

t = –3
-
t = 2  z² = 2
z = – 2

-
─

z = 2
-
─
t = – 3  z² = 3i²
z = – i3

-
─

z = i3
-
─
Phương trình (1) có 4 nghiệm:
─
─
─
─
z = –2 , z = 2 ,
z = i3, z = – i3
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Ví dụ 3.
Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức
2) z + 6z² + 25 = 0 (2)
Giải.
4
Đặt: t = z²
(t  C)
Phương trình (1) thành:
t² + 6t + 25 = 0 (*)
∆’ = 9 – 25 = –16 = 16i²
Nghiệm của phương trình (*):
t = 3 – 4i , t = 3 + 4i
t = 3 – 4i  z² = 3 – 4i = (4 – 4i + i²) = (2 – i)²
 z = ± (2 – i)
t = 3 + 4i  z² = 3 + 4i = (4 + 4i + i²) = (2 + i)²
 z = ± (2 + i)
Phương trình (2) có 4 nghiệm:
z = – 2 + i , z = 2 – i ,
z = –2 – i, z = 2 + i
?
Chuyên đề
SỐ PHỨC
IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ PHỨC
TRƯỜNG THPT THANH BÌNH
TỔ TOÁN – TIN
IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ PHỨC
1. Căn bậc hai của số phức:
Bài toán. Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
a) z = 3 – 4i
Giải
Giả sử: x + yi (x,yR) là căn bậc
hai của số phức z, ta có:
(x + yi)² = 3 – 4i
 (x² – y²) + 2xyi = 3 – 4i

x² – y² = 3
2xy = – 4
{

x – 3x² – 4 = 0
y =
–
2
─
x
4
{

x² = – 1 (vn)
y =
–
2
─
x
{
x² = 4
-
-

y = 1
x =
–
2
{
y = –1
x = 2
hoặc
{
Vậy căn bậc hai của z là:
2 – i và – 2 + i
3 – 4i = (2 – i)²
3 + 4i = (2 + i)²
IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ PHỨC
1. Căn bậc hai của số phức:
Bài toán. Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
b) z = 5 + 12i
Giải
Giả sử: x + yi (x,yR) là căn bậc
hai của số phức z, ta có:
(x + yi)² = 5 + 12i
 (x² – y²) + 2xyi = 5 + 12i

x² – y² = 5
2xy = 12
{

x – 5x² – 36 = 0
y =
–
6
x
4
{

x² = – 4 (vn)
y =
6
─
x
{
x² = 9
-
-

y = – 2
x =
–
3
{
y = 2
x = 3
hoặc
{
Vậy căn bậc hai của z là:
3 + 2i và – 3 – 2i
5 – 12i = (3 – 2i)²
5 + 12i = (3 + 2i)²
IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ PHỨC
2. Phương trình bậc hai với hệ số phức:
Ví dụ . Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức
a) (1+i)z² – 2(1– i)z +1 – 3i = 0 (1)
∆’ = (1– i)² – (1+i).(1– 3i = – 4 = 4i²
Nghiệm của phương trình (1)
z =
1 – i – 2i
¹
z =
²
1 + i
=
(1 – 3i).(1 – i)
(1 + i).(1 – i)
= – 1 – 2i
1 – i + 2i
1 + i
= 1
IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ PHỨC
2. Phương trình bậc hai với hệ số phức:
Ví dụ . Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức
b) (1 – i)z² – 2z +1 – (11 + 3i) = 0 (2)
∆’ = 1 + (1 – i).(11 + 3i = 15 – 8i = 16 – 8i + i² = (4 – i)²
Nghiệm của phương trình (2)
z =
1 – 4 + i
¹
z =
²
1 – i
=
(– 3 + i).(1 + i)
(1 – i).(1 + i)
= – 2 – i
1 + 4 – i
1 – i
=
(5 – i).(1 + i)
(1 – i).(1 + i)
= 3 + 2i
Chuyên đề
SỐ PHỨC
V. BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC
TRƯỜNG THPT THANH BÌNH
TỔ TOÁN – TIN
lz – (3 – 4i)l = 2
z² + 2z + 10 = 0
Bài 1. Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình:
V. BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC
¹
²
¹
²
Tính giá trị của biểu thức: A = lz l² + lz l²
lz – (2 + i)l = 10 và z.z = 25
Bài 2. Tìm số phức z thỏa mãn :
¯
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm
biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện :
Bài 4. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn điều kiện : (2 – 3i)z + (4 + i)z = – ( 1+ 3i)²
z² + 2z + 10 = 0
¯
Bài 5. Tìm số phức z thỏa mãn :
|z| = 2 và z² là số thuần ảo
¯
V. BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC
¹
²
2 –2i
z= 10

z =
2 – 3i
¹
z =
2 + 3i
²
t = – 3  z² = 3i²
z = – i3

-
─

z = i3
-
─
¹
²
¹
²
Tính giá trị của biểu thức: A = lz l² + lz l²
z = –2 , z = 2 ,
z = i3, z = – i3