Chương IV. §1. Bất đẳng thức

Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
§1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức
1. Định nghĩa
Cho a ; b thuộc R
Mệnh đề”a>b”;”a≥b”;”a2.Tính chất
a>b và b>c  a>c
a>b  a+c > b+c
a>b và b>c a>c
a>b và c>d  a+c >b+d
a>b ac > bc (Nếu c>0)
a>bac < bc (Nếu c<0)
a>b ≥0 √a>√b
a>b ≥0  an>bn

a>b  < (Với ab>0)

1
a
1
b
3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
|x|0)
|x|≤a  -a ≤ x ≤ a(với a>0)
|x|>a  x<-a hoặc x>a (Với a>0)
|x| ≥ a  x ≤ -a hoặc x ≥ a (Với a>0)
|x| ≤ |a|  x2 ≤ a2
|x| < |a|  x2 < a2
|x|-|a| ≤|x ± a| ≤|x|+|a|
CAUCHY
AUGUSTIN CAUCHY(1789-1857) Ông xuất thân từ gia đình khá giả ở vùng Nor mandie(Pháp)>Ông vốn rất giỏi về văn chương nhưng năm 16 tuổi ông thi đỗ vào ĐH bách khoa PARIS.Ông đỗ đầu lúc ra trường nhưng vì say mê toán và có tài đặc biệt nên ông được bổ nhiệm làm Giáo sư môn toán cơ trường đại học bách khoa paris.Ông là nhà toán học pháp có nhiều đóng góp cho toán học thế giới , ở ngành nào ông cũng có công lớn , đặc biệt là về giải tích toán học .Công trình của ông nhiều đến nỗi muốn xuất bản thành sách toàn bộ cũng cần dùng đến 27 tập lớn!!.Ông còn đặt nền móng cho lý thuyết đàn hồi các vật rắn dùng để nghiên cứu sức bền vật liệu.Ông còn được giải thưởng về truyền sóng trên mặt chất lỏng .Ông còn phát minh cách tính mới về chuyển động của các hành tinh .Ông là người đã chứng minh 1 cách cụ thể sức mạnh không có giới hạn của Toán học để nghiên cứu thiên nhiên , ví dụ Sự truyền ánh sáng, sự khúc xạ , sự phản xạ.... 
CAUCHY
4. Bất đẳng thức Cauchy
Cho a;b>0; ta có
a+b
2
Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi a=b
Hệ quả:
Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau
Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau

≥
√
ab
Cho a;b;c>0 ; ta có
a+b+c 3
3
Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
≥
√
abc
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY CHO 3 SỐ DƯƠNG
Bài tập củng cố
Bài tập 1: Chứng minh:
2a2+b2+1 ≥ 2a(1-b) (*) với mọi a,b thuộc R. Dấu bằng xảy ra khi nào?
Bài tập 2:Cho a,b,c > 0 chứng minh:
a b c
a+b b+c c+a
+
+
2
<
Bài giải
Bài 1:
(*) a2+2ab+b2+a2-2a+1 ≥0

(a+b)2+(a-1)2 ≥0 (đúng)

Vậy (*) đúng.

Bài 2:
Vì a,b,c>0 nên ta có:
a a+c
a+b a+b+c
Tương tự cho 2 cái còn lại ta có:
a b c 2(a+b+c)
a+b b+c a+c a+b+c
 Đpcm.
<
<
Bài giải
+
+
XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN THẦY VÀ CÁC BẠN ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE
THIẾT KẾ
Đào Duy Tường

Ý TƯỞNG , TƯ LIỆU
Đào Duy Tường

CHỊU TRÁCH NHIỆM NỘI DUNG
Đào Duy Tường