Chương IV. §1. Bất đẳng thức

Chương 4 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
§1. Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức
1. Định nghĩa
Cho a, b thuộc R:
Mệnh đề ”a>b”; ”a≥b”; ”a???
2.Tính chất
a>b và b>c  a>c
a>b  a+c > b+c
a>b và b>c  a>c
a>b và c>d  a+c >b+d
a>b  ac > bc (Nếu c>0)
a>b  ac < bc (Nếu c<0)
a>b ≥0 √a>√b
a>b ≥0  an>bn

a>b  < (Với ab>0)

1
a
1
b
3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
|x|0)
|x|≤a  -a ≤ x ≤ a (với a>0)
|x|>a  x<-a hoặc x>a (Với a>0)
|x| ≥ a  x ≤ -a hoặc x ≥ a (Với a>0)
|x| ≤ |a|  x2 ≤ a2
|x| < |a|  x2 < a2
|x| - |a| ≤ |x ± a| ≤ |x|+|a|
AUGUSTIN CAUCHY (1789-1857)
Xuất thân từ gia đình khá giả ở vùng Nor mandie (Pháp).
Năm 16 tuổi ông thi đậu vào ĐH bách khoa Paris.
Đỗ đầu lúc ra trường , được bổ nhiệm làm Giáo sư môn toán cơ trường đại học bách khoa Paris.
Là nhà toán học pháp có nhiều đóng góp cho toán học thế giới
Công trình nghiên cứu:
Đặt nền móng cho lý thuyết đàn hồi các vật rắn
Giải thưởng về truyền sóng trên mặt chất lỏng
Phát minh cách tính mới về chuyển động của các hành tinh.
Chứng minh 1 cách cụ thể sức mạnh không có giới hạn của Toán học để nghiên cứu thiên nhiên, (VD: sự truyền ánh sáng, sự khúc xạ, sự phản xạ....)
CAUCHY
4. Bất đẳng thức Cauchy
Cho a, b>0; ta có
a+b
2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b

Hệ quả:
Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau
Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau

≥
√
ab
Cho a, b, c>0 ; ta có
a+b+c 3
3
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b= c
≥
√
abc
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY CHO 3 SỐ DƯƠNG
Bài tập củng cố
Bài tập 1:
Chứng minh:
2a2 + b2 + 1 ≥ 2a(1-b) (*) với mọi a,b thuộc R. Dấu bằng xảy ra khi nào?

Bài tập 2:
Cho a, b, c > 0 chứng minh:
a b c
a+b b+c c+a
+
+
2
<
???
Bài giải
Bài 1:
(*) a2+2ab+b2+a2-2a+1 ≥0

(a+b)2+(a-1)2 ≥0 (đúng)

 Vậy (*) đúng.

Bài 2:
Vì a,b,c>0 nên ta có:
a a+c
a+b a+b+c
Tương tự cho 2 cái còn lại ta có:
a b c 2(a+b+c)
a+b b+c a+c a+b+c
 Đpcm.
<
<
+
+
Bài giải
XIN CẢM ƠN THẦY VÀ CÁC BẠN ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE VÀ THEO DÕI.
Nội dungĐào Duy Tường

Trình bàyĐào Duy TườngLê Thế Anh

Biên tậpLê Thế Anh

Hỗ trợVũ Minh TânLê Quang Hợp