Chương IV. §1. Bất đẳng thức

Nhà ToánHọc (Augustin Louis Cauchy)
1789-1857
Tiết 27: BẤT ĐẲNG THỨC
CHƯƠNG IV:
BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
(Sai)
(Đúng)
(Đúng)
I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
1.Khái niệm bất đẳng thức
Chọn dấu thích hợp (=, <, >) để khi điền vào ô vuông ta được một mệnh đề đúng
<
>
=
>
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương
Nếu bất đẳng thức a
Chứng minh
Cộng -b vào hai vế bđt a Ta được bđt hệ quả : a-b<0
Cộng b vào 2 vế của bđt a-b<0
Ta được bđt hệ quả aVì vậy
Đảo lại:
3. Tính chất của bất đẳng thức:
Nêu ví dụ áp dụng một trong các tính chất trên
Chứng minh rằng: nếu a>b và ab>0 thì
Ta có
Hay
(Tính chất a>bac.bc, c>0)
Chú ý:
Các mệnh đề hoặc
cũng được gọi là bất đẳng thức
II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân
1. Bất đẳng thức Cô-si
Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng
Định lý
Chứng minh bất đẳng thức cô-si
Để chứng minh một bất đẳng thức ta dùng định nghĩa
hoặc các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Khi dùng tính chất của bất đẳng thức có hai hướng biến đổi:
Biến đổi BĐT phải chứng minh thành BĐT tương đươngmà ta đã biết đúng.
Hoặc biến đổi những BĐT đúng đã biết thành BĐT phải chứng minh
Vậy
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Tức là khi a = b
CHỨNG MINH
Ta tính hiệu
Như vậy để chứng minh bất đẳng thức
Ta chứng minh
Cho a>0 và số nghịch đảo của nó là
Áp dụng bất đẳng thức cô- si cho 2 số dương này
Ta có
Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2
2.Các hệ quả
Hệ quả 1
Chứng minh:
Đặt S = x + y. Áp dụng bđt cô-si ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy tích xy đạt giá trị Max bằng
Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x=y
Hệ quả 2
Khi và chỉ khi
Ý NGHĨA HÌNH HỌC
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Ý NGHĨA HÌNH HỌC
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
Hệ quả 3
Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x=y
chứng minh tương tự
Giả sử hai số dương x và y có tích xy=P(constant)
Theo BĐT Cauchy ta có:
Tổng x+y đạt min bằng khi vàchỉ khi:
III.Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Nhắc lại định nghĩa giá trị tuyệt đối
Nội dung
Điều Kiện

a>0
Củng cố bài học
Tính chất của bất đẳng thức.
Định lý cô-si và các hệ quả của định lý cô-si
Làm các bài tập 1-6 trong sách giáo khoa trang 79
Nhà Toán Học (Augustin Louis Cauchy)
1789-1857