Chương IV. §1. Bất đẳng thức

Nguyễn Quốc Phương
Toán tin K28A
cao đẳng sư phạm Hà nội
Bất đẳng thức
Sơ
lược
về
bất
đẳng
thức
Các
bất
đẳng
thức
quan
trọng
Phương
pháp
chứng
minh
bất
đẳng
thức
ứng
dụng
BĐT
giải
bài
toán
cực
trị
Bất đẳng thức: là cách thức để so sánh các giá trị hoặc các số các hàm số trong một trường số thực hoặc trường số hữu tỷ
Các Bất Đẳng Thức Quan Trọng
Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
Bất đẳng thức cauchy
Bất đẳng thức bunhiacopski
bất đẳng thức bernoulli
và một số BĐT khác
Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
Với các số thực a1,a2,...an ta luôn có:

Với 2 số thực a1,a2 ? 0 ta có:

Bất đẳng thức Cauchy
Cho n số thực không âm a1,a2,..,an khi đó thì trung bình cộng của n số đó lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng:
Dấu "=" sảy ra khi a1=a2=....= an
(1) đã được chứng minh
Chứng minh rằng:
Chứng minh: ta áp dụng BĐT Bunhĩaopski ta có
(a1b1+a2b2 + a3b3)2 ?(a12 +a22 + a32)(b12+b22 +b32)


Các phương pháp chứng minh bất đẳngthức




Phương pháp dùng định nghĩa đưa bài toán về dạng đơn giản, hoặc giải trực tiếp
Phương pháp quy nạp toán học
Phương pháp dùng tam thức bậc 2,hoặc đưa về dạng : A2 + B2 so sánh với số 0

Phương pháp dùng các bất đẳng thức đã biết
Phương pháp biến đổi tương đương
Phương pháp bién đổi tương đương là dùng các công thức, các tính chất để đưa bài toán về BĐT mới đúng(hoặc dễ nhận biết)
A>B ?...?C>D
mà C>D đúng
? A>B
ví dụ: CMR ?a,b,c,d,e?R-
thì a2 + b2 + c2 + d2 +e2 ? a,(1)
(1) ? 4(a2 + b2+ c2 +d2 +e2)?
4a(b+c+d+e)?(a2 + 4b2 - 4ab)+
(b2 + 4c2 - 4bc)+(c2 +4d2 - 4dc)
+(d2 +4e2 +2ed)?0 ?
(a-2b)+(b+2c)+(c-2d)+(d-2e)?0
(đpcm)
Thử nghiệm hoặc xét một vài giá trị đầu tiên
Xét giá trị của ẩn tới giá số n,đưa bài toán về dạng tổng quát
Thực hiện các phép biến đổi tương đương(cộng,trừ,nhân, hoặc chia)
Sau đó xét ẩn tới giá trị thứ (n? 1),xét dấu bằng sảy ra khi nào
Chứng minh bất đẳng thức
becnoulli
xét với a =0, q ?Q thì BĐT đúng
xét ?a??, và ?q?? ta cần chứng minh (1+a)q > 1+qa
q=2 ?(1+a)2 =1+2a+a2 >1+2a (đúng)

giả sử bất đẳng thức đúng với q =n,ta cần chứng minh BĐT đúng với n+1

Thật vậy: q =1 ? (1+a)q+1 =(1+a)q.(1+a)
(*)? (1+a)q+1 > (1+qa).(1+a) =1+ (n+1)a +qa2
(1+a)q+1 > 1 + (n+1)a
bất đẳng thức becnoulli đã được chứng minh
Ta sử dụng các định lý về dấu của tam thức, dấu của các nghiệm để chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp tam thức có thể chứng minh các bất đẳng thức lượng giác, bất đẳng thức bunhiacopski, hoặc các bất đẳng thức khác
Phương pháp

dùng các bất đẳng thức
đã học
.
hi..hi hi..!!
ứng dụng
BĐT để gải bải toán cực trị
Nếu tổng của các số
thực dươngx1,x2...,xn bằng
một số cho trước thì
tích của chúng lớn nhất khi
x1=x2=...=xn
Nếu có n số thực dương x1,x2..,xn
không đổi thì tích

max khi




Nếu tích các số thực dương
x1,x2..,xn
không đổi thì tổngcủa
chúng bé nhất khi

x1=..=xn



Nếu n số thực dương x1,x2..,xn
có tích không đổi thì tổng của
chúngbé nhất khi