Chương IV. §1. Bất đẳng thức
Chia sẻ bởi Phan Đình Trung |
Ngày 08/05/2019 |
55
Chia sẻ tài liệu: Chương IV. §1. Bất đẳng thức thuộc Đại số 10
Nội dung tài liệu:
BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ ÁP DỤNG
BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ
GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu
Hà Nội, 2006
Chương 1
Bất đẳng thức Cauchy
Từ chương trình PTTHCS ta đã làm quên với BĐT cơ bản sau:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Dựa trên cơ sở này, chúng ta xây dựng các BĐT liên quan đến tam thức bậc hai => thiết lập và chứng minh BĐT Cauchy
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
TAM THỨC BẬC HAI
Tại Việt Nam và các nước Đông Âu:
BĐT giữa các giá trị trung bình cộng và trung bình nhân
BĐT Cauchy
BĐT Cauchy
Bunhiacovski,
Cauchy - Bunhiacovski
hoặc Cauchy - Schwarz
Theo các chuyên gia về BĐT và thông lệ quốc tế:
-BĐT tích phân dạng tương tự Cauchy mới có các tên trên.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Xét hai số dương a, b
Nếu tổng a + b = const a.b đạt max khi a = b
Nếu tích a.b = const (a+b) đạt min khi a = b
Hai nhận xét trên tương đương với:
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Với mọi bộ số ta luôn có bất đẳng thức sau
Bất đẳng thức (1.4) thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy (®«i khi cßn ®îc gäi lµ bất đẳng thức Bunhiacovski, bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski hoặc bất đẳng thức Cauchy – Schwarz).
Ta có nhận xét rằng bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng
có thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc hai trong trường hợp dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Khi đó, ta dễ dàng mở rộng cho tam thức bậc để có bất đẳng thức tương tự như (1.8) bằng cách thay số 2 bởi số Thật vậy, ta cần thiết lập bất đẳng thức dạng
Sao cho dấu đẳng thức vẫn xảy ra khi và chỉ khi
Thay vào (1.9), ta nhận được tức là (1.9) có dạng
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY MỞ RỘNG
Đây chính là bất đẳng thức Bernoulli quen biết.
Bất đẳng thức Bernoulli dạng (1.10) chỉ được sử dụng trong các trường hợp đảm bảo chắc chắn rằng dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Trong những trường hợp, nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cho
trước, ta cần chuyển đổi số 1 về số đã cho bằng 2 cách:
-Tịnh tiến
- Đồng dạng (tốt nhất với Bernoulli)
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Tiếp theo ta lại có nhận xét rằng bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng
có thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc (2,1) (ứng với luỹ thừa 2 và luỹ thừa 1 của ), trong trường hợp dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Khi đó, ta dễ dàng mở rộng một cách tự nhiên cho tam thức bậc
để có bất đẳng thức tương tự như (1.12) bằng cách thay luỹ thừa 2 bởi số và luỹ thừa 1 bởi Ta có:
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Nhận xét rằng từ một đẳng thức đã cho đối với bộ số thực ta đều có thể mở
rộng (theo nhiều cách thức khác nhau) thành một đẳng thức mới cho bộ số
phức. Chẳng hạn, ta có thể coi mọi số thực đã cho như là phần thực của một
số phức
Ta nêu một số đồng nhất thức về sau cần sử dụng
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY DẠNG PHỨC
Định lý 1. Với mọi bộ số ta luôn có đẳng thức sau
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Định lý 2. Với mọi bộ số phức ta luôn có đẳng thức sau
Hệ thức (1.6) cho ta bất đẳng thức Cauchy sau đây đối với bộ số phức.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Hệ quả 1. Với mọi bộ số phức ta luôn có bất đẳng thức sau
Giả sử ta có bộ các cặp số dương sao cho
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY DẠNG ĐẢO
Khi đó, theo định lý đảo của tam thức bậc hai thì
hay
Từ đây suy ra
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Theo bất đẳng thức Cauchy, thì
Vậy nên
Từ đây, ta thu được bất đẳng thức đảo Cauchy.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
VD1: Xét 2 số nguyên dương x, y có tổng x + y = 9
Khi đó, tích (x.y) đạt max khi x = y = 9/2 (theo Cauchy).
Tuy nhiên x, y là nguyên dương điều này không xảy ra.
Khái niệm dấu “=“ xảy ra khi hai số bằng nhau trong một số bài toán sẽ không thực hiện được Phương pháp BĐT Cauchy cho chúng ta các phương thức đối mặt với một số bài toán thực tế.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
CÁC PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
VD2: Xét bộ số x, y, z thoả mãn: xy + yz + zx = 1
Tìm min của x2 + y2 + z2 hay x4 + y4 + z4
Ta chỉ cần biến đổi thông qua x + y + z, xy + yz + zx, x.y.z tường minh.
Tuy nhiên khi tìm min của x2 + 2y2 + 3z2 kỹ thuật thông thường bị đổ vỡ vì lúc đó dấu “=“ không xảy ra tại vị trí x=y=z phải lựa chọn các phương thức đặc biệt thêm bớt các hệ số.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Độ gần đều và sắp thứ tự dãy cặp điểm
Từ bất đẳng thức
Ta suy ra với mọi cặp số không âm với tổng bằng 1 cho trước thì tích
đạt giá trị lớn nhất bằng khi
Tuy nhiên khi x, y biến đổi trong một miền và trong miền đó và x khác y thì chúng chỉ đạt được vị thế ở vị trí x và y gần nhau nhất khái niệm độ gần đều
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Xét các cặp số không âm .Ta gọi hiệu
là độ lệch của cặp số hay là độ gần đều của cặp số
Nếu ρ(x,y) = 0 x = y cặp đều
Nếu x ≠ y ρ(x,y) > 0 độ gần đều
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Khi ta có một cặp số a, b dương có tổng bằng 9.
Ta có một loạt các bộ số: (1,8), (2,7), (3,6), (4,5) có tổng bằng 9.
Tất cả có chung một đặc trưng:
(x.y) ≤ (9/2)2
Nếu xem xét kỹ ta thấy các tích:
1.8 < 2.7 < 3.6 < 4.5
Vậy cặp số có tổng không đổi thì khi x và y càng gần đều nhau thì tích càng lớn ta được thứ tự sắp chặt của bộ số đó tiến gần đến trường hợp đều.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Định lý 1. Xét các cặp số không âm với tổng không đổi
(để đơn giản, ta chọn ). Khi đó
Khi và chỉ khi cặp gần đều hơn cặp
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Định lý 2. Xét các cặp số không âm với tích không đổi
(để đơn giản, ta chọn ). Khi đó
khi và chỉ khi cặp gần đều hơn cặp
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Định lý 3. (H. W. Melaughlin, F. T. Metcalf). Với mọi cặp dãy số dương
và sao cho hoặc
ta đều có
đây chính là một dạng nội suy bất đẳng thức Cauchy trong [0,1].
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Kỹ thuật tách và ghép bộ số
Thông thường chúng ta xem xét BĐT Cauchy là BĐT của 2 bộ số. Tuy nhiên trong thực tế, đa số 2 bộ số đó xuất phát từ 1 bộ số (1 bộ số cố định và một bộ số thu được từ các biến đổi của bộ số cố định này).
Đây là một bài toán được dùng nhiều trong phân tích cấu trúc. Thực chất của kỹ thuật tách ghép chính là cách sắp thứ tự và điều chỉnh bộ số theo quá trình gần đều hoặc đều theo từng nhóm.
Ứng dụng của chúng cho các bài toán tối ưu trong đời sống hàng ngày là khá nhiều.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Thứ tự và sắp lại thứ tự của bộ số
Cho bộ số gồm 3 số a,b, c thoả mãn a < b < c
Khi đó gọi:
a là min(x,y,z);
c là max(x,y,z); và
b là med(x,y,z), ta có:
max(a,b,c) ≥ med(a,b,c) ≥ min(a,b,c)
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Cho một Δ ABC bất kỳ. Dưới góc độ bất biến, không kể độ lớn ta có thể khẳng định:
Ba góc A, B, C > 0 và A + B + C = π
Trong tam giác đều ta có: A = B = C = π/3
Như vậy cho một Δ bất kỳ thì Δ này là xa đều hơn Δ đều vì hiệu giữa max và min của tam giác này luôn lớn hơn hoặc bằng không, còn hiệu giưa max và min của tam giác đều bao giờ cũng bằng không.
Do đó trong các bài toán BĐT thường ta đi so sánh giữa các BĐT đã cho với các BĐT của các tam giác đều.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Không mất tính tổng quát có thể coi A là góc lớn nhất, góc C là góc nhỏ nhất, hiển nhiên ta có:
A ≥ π/3 vì max ≥ (A+B+C)/3
C≤ π/3
Thứ tự sắp được của bộ 3 số đó:
A ≥ π/3
A + B ≥ π/3 + π/3
A + B + C = π/3 + π/3 + π/3 = π
Từ so sánh này ta có thể thay các góc A, B, C bằng các biểu thức khác nhau.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Xét một Δ ABC không nhọn (tù hoặc vuông), A > B > C, ta có:
A ≥ π/2
C ≤ π/4 vì B + C ≤ π/2
Ta có thể thấy ngay rằng:
Trong các tam giác không nhọn thì tam giác vuông cân là tam giác gần đều nhất
Vì vậy nếu ta có 1 BĐT liên quan đến tam giác bất kỳ so sánh với tam giác đều thì ta cũng có BĐT liên quan đến các tam giác không nhọn so sánh với tam giác vuông cân.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Ứng dụng của BĐT Cauchy là rất nhiều.
Đặc biệt khi liên quan đến tam thức bậc hai, một ứng dụng lớn nhất là tìm max và min của các dạng phân thức.
Dạng phân thức có cấu trúc trặt và gặp nhiều trong các bài toán thi Olympic quốc gia và quốc tế là dạng phân thức mà tử số và mẫu số đều là các đa thức bậc không quá hai.
Cấu trúc đề tìm max và min khi dùng BĐT Cauchy cũng như tam thức bậc hai là cấu trúc có chiều ngược lại với truyền thống các bài toán sử dụng các phép tính vi phân.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
1.1. 1 Tam thức bậc hai
Ta cã bất đẳng thức cơ bản:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Gần với bất đẳng thức (1.1) là bất đẳng thức dạng sau:
hay
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
Xét tam thức bậc hai:
Khi đó
với
Định lý 1.1. Xét tam thức bậc hai:
i) Nếu thì
ii) Nếu thì Dấu đẳng thức xảy ra
khi và chỉ khi
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
iii) Nếu thì với
Trong trường hợp này, khi
và khi hoặc
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
Định lý 2. (Định lý đảo). Điều kiện cần và đủ để tồn tại số sao
cho
là:
và
trong đó: là các nghiệm của xác định theo (1.2).
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
Định lý 3. Với mọi tam thức bậc hai có nghiệm thực đều tồn tại một
nguyên hàm là đa thức bậc ba, có ba nghiệm đều thực.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
Định lý 4. Tam thức bậc hai có nghiệm (thực)
khi và chỉ khi hệ số có dạng:
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
1.1.2 Ph¬ng ph¸p:
Xét đa thức thuần nhất bậc hai hai biến (xem như tam thức bậc hai đối với )
Khi đó, nếu thì
Vậy khi và thì hiển nhiên
trường hợp riêng khi ta nhận lại được kết quả
hay
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
1.1.3 Áp dụng lý thuyết:
Ví dụ 1. Cho là các số thực sao cho Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ 2. Cho Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu
thức
Ví dụ 3. Cho Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu
thức
1.1.4. Tam thức bậc và tam thức bậc
Bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng
Khi có thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc hai.
Ta cần thiết lập bất đẳng thức dạng
sao cho dấu đẳng thức vẫn xảy ra khi và chỉ khi
Thay vào (1.9), ta nhận được tức là (1.9) có dạng
Đây chính là bất đẳng thức Bernoulli quen biết.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
Bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng
có thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc (2,1) (ứng với luỹ thừa 2 và luỹ thừa 1 của ), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Mở rộng cho tam thức bậc
bằng cách thay luỹ thừa 2 bởi số và luỹ thừa 1 bởi
Thật vậy, ta cần thiết lập bất đẳng thức dạng
sao cho dấu đẳng thức vẫn xảy ra khi và chỉ khi
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
Sử dụng phép đổi biến và ta có thể đưa (1.13) về dạng
So sánh với (1.8), ta thấy ngay cần chọn và Vậy nên
Hay
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
Định lý 1. Giả sử cho trước và cặp số thỏa mãn điều kiện
Khi đó
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
Định lý 2. Tam thức bậc dạng
trong đó và có tính chất sau
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
Hệ quả 3. Tam thức bậc dạng
Trong đó và có tính chất sau
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
Bạn đã hoàn thành Mục 1.1 Chương 1
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
1.2.1.D¹ng thuËn cña bÊt ®¼ng thøc Cauchy:
Tiếp theo thực hiện ý tưởng của Cauchy (Augustin-Louis Cauchy 1789 – 1857) đối với tổng
Ta nhận được tam thức bậc hai dạng
nên
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
BÀI GIẢNG
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
BÀI GIẢNG
Với mọi bộ số ta luôn có bất đẳng thức sau
Dấu đẳng thức trong (1.4) xảy ra khi và chỉ khi bộ số và tỷ lệ với nhau, tức tồn tại cặp số thực không đồng thời bằng 0, sao cho
Bất đẳng thức (1.4) thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy (®«i khi cßn ®îc gäi lµ bất đẳng thức Bunhiacovski, bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski hoặc bất đẳng thức Cauchy – Schwarz).
1.2.2 Dạng phức của bất đẳng thức Cauchy
Nhận xét rằng từ một đẳng thức đã cho đối với bộ số thực ta đều có thể mở
rộng (theo nhiều cách thức khác nhau) thành một đẳng thức mới cho bộ số
phức. Chẳng hạn, ta có thể coi mọi số thực đã cho như là phần thực của một
số phức
Ta nêu một số đồng nhất thức về sau cần sử dụng
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
BÀI GIẢNG
Định lý 1. Với mọi bộ số ta luôn có đẳng thức sau
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
BÀI GIẢNG
Định lý 2. Với mọi bộ số phức ta luôn có đẳng thức sau
Hệ thức (1.6) cho ta bất đẳng thức Cauchy sau đây đối với bộ số phức.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
BÀI GIẢNG
1.2.3 Dạng đảo của bất đẳng thức Cauchy
Hệ quả 1. Với mọi bộ số phức ta luôn có bất đẳng thức sau
Giả sử ta có bộ các cặp số dương sao cho
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
BÀI GIẢNG
Khi đó, theo định lý đảo của tam thức bậc hai thì
hay
Từ đây suy ra
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
BÀI GIẢNG
Theo bất đẳng thức Cauchy, thì
Vậy nên
Từ đây, ta thu được bất đẳng thức đảo Cauchy.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
BÀI GIẢNG
Bạn đã hoàn thành Mục 1.2 Chương 1
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
BÀI GIẢNG
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN
BÀI GIẢNG
Định lý 1.(H. W. Mclaughlin). Với mọi bộ số thực
và ta đều có
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
và
ứng với mọi
Tương tự, ta có thể mở rộng bất đẳng thức Cauchy cho bốn bộ số
Sử dụng kỹ thuật bất đẳng thức Cauchy đối với và
ta thu được
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN
BÀI GIẢNG
Định lý 2. (A. M. Ostrowski). Cho hai dãy không tỷ lệ
và và dãy số thực thỏa mãn điều
kiện
Khi đó
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN
BÀI GIẢNG
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN
BÀI GIẢNG
Định lý 3. (K. Fan and J. Todd). Với mọi dãy số thực
và thỏa mãn điều kiện ứng với
ta đều có
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN
BÀI GIẢNG
Bạn đã hoàn thành Mục 1.3 Chương 1
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN
BÀI GIẢNG
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
1.4.1. Độ gần đều và sắp thứ tự dãy cặp điểm
Từ bất đẳng thức
Ta suy ra với mọi cặp số không âm với tổng bằng 1 cho trước thì tích
đạt giá trị lớn nhất bằng khi Vậy
Tương tự đối với một cặp ta cũng có:
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Định nghĩa 1. (i) Xét các cặp số không âm với tổng không đổi (để đơn giản, ta chọn ). Ta gọi hiệu
là độ lệch của cặp số hay là độ gần đều của cặp số
(ii) Cặp được gọi là gần đều hơn (độ lệch nhỏ hơn) cặp (hay cặp được gọi là xa đều hơn cặp ) nếu
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Định nghĩa 2. (i) Xét các cặp số dương với tích không đổi (để đơn giản
ta chọn ). Ta gọi hiệu
là độ lệch của cặp số hay là độ gần đều của cặp số .
(ii) Cặp được gọi là gần đều hơn (độ lệch nhỏ hơn) cặp (hay cặp
được gọi là xa đều hơn cặp ) nếu
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Định lý 1. Xét các cặp số không âm với tổng không đổi
(để đơn giản, ta chọn ). Khi đó
Khi và chỉ khi cặp gần đều hơn cặp
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Định lý 2. Xét các cặp số không âm với tích không đổi
(để đơn giản, ta chọn ). Khi đó
khi và chỉ khi cặp gần đều hơn cặp
Định lý 3. (H. W. Melaughlin, F. T. Metcalf). Với mọi cặp dãy số dương
và sao cho hoặc
ta đều có
đây chính là một dạng nội suy bất đẳng thức Cauchy trong [0,1].
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
1.4.2. Kỹ thuật tách và ghép bộ số
Trong những năm gần đây, khá nhiều dạng bất đẳng thức trong các đề kỳ thi Olympic quốc tế, vô địch quốc gia của nhiều nước trên thế giới. Rất nhiều bài toán về bất đẳng thức xuất phát từ các phép biến đổi biểu thức đối xứng theo các kiểu (đặc thù) khác nhau.
Trong mục này chúng ta đưa ra một số dạng bất đẳng thức giải dựa chủ yếu vào kỹ thuật tách, ghép và điều chỉnh bộ hệ số trong bất đẳng thức Cauchy.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Để minh hoạ và để tính toán đơn giản, ta chủ yếu xét các ví dụ với cặp bộ ba biến. Thực chất của kỹ thuật này cũng chính là cách sắp thứ tự và điều chỉnh bộ số theo quá trình gần đều hoặc đều theo từng nhóm.
Bài toán 1.13. Cho Chứng minh rằng
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Bài toán 1.14. Cho Chứng minh rằng
Nhận xét 1.3. Bằng phương pháp tương tự, ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức sau:
Với mọi cặp số dương và bộ số dương với tổng ta đều có
Bài toán 1.15. Cho Chứng minh rằng
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Bài toán 1.16 (APMO 1991). Cho hai bộ số dương và
có chung tổng
Chứng minh rằng
Bài toán 1.17. Cho Chứng minh rằng
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Bài toán 1.18 (Japan MO – 2004). Cho Chứng minh rằng
Bài toán 1.19 (MO Romanian 2004). Chứng minh rằng với mọi ta đều có
Bài toán 1. 20 (MO USA). Xét các số dương thỏa mãn các điều kiện
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Bài toán 1. 21. Chứng minh rằng, với mọi bộ số dương thỏa mãn điều kiện ta đều có
Bài toán 1. 22. Chứng minh rằng với mọi bộ số dương ta đều có
Bài toán 1. 23. Chứng minh rằng với mọi bộ số dương ta đều có
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Bài toán 1. 24. Cho hai bộ số dương và Chứng minh rằng
Bài toán 1. 25. Cho tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
1.4.3. Thứ tự và sắp lại thứ tự của bộ số
Kỹ thuật này để phù hợp với đặc thù của bài toán đóng vai trò rất tích cực trong việc định hướng sáng tác bài tập cũng như định hướng cách chứng minh các bất đẳng thức.
Chú ý rằng, sau khi sắp lại thứ tự bộ số, chẳng hạn ta thấy ngay cặp số gần đều hơn cặp
Vì vậy, ứng với mọi ta dễ dàng kiểm chứng hàm số có tính chất
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
hay
Một cách tổng quát với mỗi bộ số sắp được
và với mọi ta đều có
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
1.4.4. Điều chỉnh và lựa chọn tham số
Đối với một số bất đẳng thức đồng bậc dạng không đối xứng thì dấu đẳng thức trong bất đẳng thức thường xảy ra khi giá trị của các biến tương ứng không bằng nhau.
Kỹ thuật cơ bản nhất giải các bài toán cực trị dạng không đối xứng chính là xây dựng thuật toán sắp thứ tự gần đều.
Tham số tự do cần thiết thường là các giá trị trung gian được xác định sau theo cách chọn đặc biệt để tất cả các dấu đẳng thức đồng thời xảy ra.
Tham số phụ được đưa vào một cách hợp lí để phương trình xác định chúng có nghiệm.
Bài toán 1.29. Cho số dương Xét bộ số dương thỏa mãn điều kiện
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài toán 1.30. Cho là các số dương. Xét bộ số dương thỏa mãn điều kiện
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Nhận xét 1.5. Hai bài toán trên hoàn toàn có thể giải được theo phương pháp tam thức bậc hai thông thường.
Bài toán 1.31 (Thi chọn đội tuyển Việt Nam dự IMO – 1994). Xét bộ số thực
thỏa mãn điều kiện
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Bài toán 1.32. Xét bộ số thỏa mãn điều kiện
trong đó là số dương cho trước. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Bạn đã hoàn thành Mục 1.4 Chương 1
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Bất đẳng thức Cauchy
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Ta có đồng nhất thức
Để ý rằng nên ta có
Vì vậy có thể coi bất đẳng thức Cauchy thực chất là bất đẳng thức suy ra từ hằng đẳng thức đáng nhớ.
Khi biểu diễn dưới dạng phức tạp hơn, chẳng hạn
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Xét với
Đồng nhất thức Lagrange
Bài toán 1: Ký hiệu
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Chứng minh rằng với mọi bộ số ta có
Hệ quả: Từ đồng nhất thức trên ta thấy VP > 0 nên suy ra VT >0. Khi đó chia
cả hai vế cho
nếu thì
Khi đó ta luôn có bất đẳng thức sau
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Các bài tập
ứng dụng tam thức bậc hai
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
HD giải: Trường hợp thì
có thể tìm được GTLN, GTNN bằng phương pháp tam thức bậc hai
Tìm giá trị của y để phương trình (1) có nghiệm
có nghiệm
*) xảy ra khi
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
*) phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
1) Với nên bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi của tam thức bậc hai (2) >0.
Gọi là nghiệm của phương trình khi đó
Dấu “=“ xảy ra khi
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
2) Với thì ta không áp dụng được như trường hợp trên, bài toán tìm giá trị LN, NN trở thành tìm GTLN, NN trên một miền.
Ví dụ: Xét các biểu thức đối xứng
Nếu cho thì
Nếu cho thì
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Bài toán 2: Cho là các số thực sao cho
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giải: Đặt Khi đó xét
Nếu
Nếu suy ra
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Ta nhận thấy rằng nếu ký hiệu
Ta cần tìm
Nhận xét:
+)
+) Không mất tính tổng quát xem (1) ta có
Khi đó
có nghiệm
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Kết hợp với nhận xét ta có
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Dấu “=“ đạt được khi
Trong đó
Từ (2) ta tìm được
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Bài toán 3: Giả sử các số thực thoả mãn điều kiện
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giải: Ta có
Xét khi chia cả tử và mẫu cho ta thu được
trong đó
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Ta có thể xét biểu thức trên là tam thức bậc 2 đối với u nghĩa là:
Theo (1)
khi đó ta có
Gọi là nghiệm dương của (2) ta nhận được
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Bài toán 4. Cho tam thức bậc hai thỏa mãn điều kiện
Tìm giá trị lớn nhất của với
HD giải: Ta có:
hay
Suy ra
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Ta lại có
Khi đó
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Vì nên Do đó
Suy ra Vậy
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Tam thức bậc và
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Xét trường hợp đặc biệt: Với thì
Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi
Bất đẳng thức đang xét là bất đẳng thức chuyển đổi giữa điểm 0 và điểm 2 về điểm giữa trên đoạn này.
Câu hỏi đặt ra là quá trình chuyển đổi đó được thực hiện theo cách nào?
Với cho trước xét
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
thì bất đẳng thức (1) có dạng
Hỏi có xảy ra bất đẳng thức sau hay không?
Nếu (2) xảy ra thì ta thay 0; 1 bằng bất đẳng thức mới thì cho ta quy trình chuyển từ bậc 2 sang bậc bất kỳ gọi là tam thức bậc
Ta còn có
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Bài toán 1: Cho
Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
HD giải:
là tam thức bậc hai.
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Bài toán 2: Cho
Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
HD giải:
Chia cả hai vế cho ta được
Đặt
Ta có
Không mất tính tổng quát ta xét
Xét hàm số
ta chứng minh rằng với
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Ta có
Đặt
Ta nhận thấy
Mà nên ta chứng minh 1 là điểm cực tiểu của hàm
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Thật vậy
vì và
Nên nghịch biến trong suy ra điều phải chứng minh
VÀ ÁP DỤNG
BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ
GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu
Hà Nội, 2006
Chương 1
Bất đẳng thức Cauchy
Từ chương trình PTTHCS ta đã làm quên với BĐT cơ bản sau:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Dựa trên cơ sở này, chúng ta xây dựng các BĐT liên quan đến tam thức bậc hai => thiết lập và chứng minh BĐT Cauchy
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
TAM THỨC BẬC HAI
Tại Việt Nam và các nước Đông Âu:
BĐT giữa các giá trị trung bình cộng và trung bình nhân
BĐT Cauchy
BĐT Cauchy
Bunhiacovski,
Cauchy - Bunhiacovski
hoặc Cauchy - Schwarz
Theo các chuyên gia về BĐT và thông lệ quốc tế:
-BĐT tích phân dạng tương tự Cauchy mới có các tên trên.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Xét hai số dương a, b
Nếu tổng a + b = const a.b đạt max khi a = b
Nếu tích a.b = const (a+b) đạt min khi a = b
Hai nhận xét trên tương đương với:
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Với mọi bộ số ta luôn có bất đẳng thức sau
Bất đẳng thức (1.4) thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy (®«i khi cßn ®îc gäi lµ bất đẳng thức Bunhiacovski, bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski hoặc bất đẳng thức Cauchy – Schwarz).
Ta có nhận xét rằng bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng
có thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc hai trong trường hợp dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Khi đó, ta dễ dàng mở rộng cho tam thức bậc để có bất đẳng thức tương tự như (1.8) bằng cách thay số 2 bởi số Thật vậy, ta cần thiết lập bất đẳng thức dạng
Sao cho dấu đẳng thức vẫn xảy ra khi và chỉ khi
Thay vào (1.9), ta nhận được tức là (1.9) có dạng
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY MỞ RỘNG
Đây chính là bất đẳng thức Bernoulli quen biết.
Bất đẳng thức Bernoulli dạng (1.10) chỉ được sử dụng trong các trường hợp đảm bảo chắc chắn rằng dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Trong những trường hợp, nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cho
trước, ta cần chuyển đổi số 1 về số đã cho bằng 2 cách:
-Tịnh tiến
- Đồng dạng (tốt nhất với Bernoulli)
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Tiếp theo ta lại có nhận xét rằng bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng
có thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc (2,1) (ứng với luỹ thừa 2 và luỹ thừa 1 của ), trong trường hợp dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Khi đó, ta dễ dàng mở rộng một cách tự nhiên cho tam thức bậc
để có bất đẳng thức tương tự như (1.12) bằng cách thay luỹ thừa 2 bởi số và luỹ thừa 1 bởi Ta có:
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Nhận xét rằng từ một đẳng thức đã cho đối với bộ số thực ta đều có thể mở
rộng (theo nhiều cách thức khác nhau) thành một đẳng thức mới cho bộ số
phức. Chẳng hạn, ta có thể coi mọi số thực đã cho như là phần thực của một
số phức
Ta nêu một số đồng nhất thức về sau cần sử dụng
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY DẠNG PHỨC
Định lý 1. Với mọi bộ số ta luôn có đẳng thức sau
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Định lý 2. Với mọi bộ số phức ta luôn có đẳng thức sau
Hệ thức (1.6) cho ta bất đẳng thức Cauchy sau đây đối với bộ số phức.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Hệ quả 1. Với mọi bộ số phức ta luôn có bất đẳng thức sau
Giả sử ta có bộ các cặp số dương sao cho
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY DẠNG ĐẢO
Khi đó, theo định lý đảo của tam thức bậc hai thì
hay
Từ đây suy ra
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Theo bất đẳng thức Cauchy, thì
Vậy nên
Từ đây, ta thu được bất đẳng thức đảo Cauchy.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
VD1: Xét 2 số nguyên dương x, y có tổng x + y = 9
Khi đó, tích (x.y) đạt max khi x = y = 9/2 (theo Cauchy).
Tuy nhiên x, y là nguyên dương điều này không xảy ra.
Khái niệm dấu “=“ xảy ra khi hai số bằng nhau trong một số bài toán sẽ không thực hiện được Phương pháp BĐT Cauchy cho chúng ta các phương thức đối mặt với một số bài toán thực tế.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
CÁC PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
VD2: Xét bộ số x, y, z thoả mãn: xy + yz + zx = 1
Tìm min của x2 + y2 + z2 hay x4 + y4 + z4
Ta chỉ cần biến đổi thông qua x + y + z, xy + yz + zx, x.y.z tường minh.
Tuy nhiên khi tìm min của x2 + 2y2 + 3z2 kỹ thuật thông thường bị đổ vỡ vì lúc đó dấu “=“ không xảy ra tại vị trí x=y=z phải lựa chọn các phương thức đặc biệt thêm bớt các hệ số.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Độ gần đều và sắp thứ tự dãy cặp điểm
Từ bất đẳng thức
Ta suy ra với mọi cặp số không âm với tổng bằng 1 cho trước thì tích
đạt giá trị lớn nhất bằng khi
Tuy nhiên khi x, y biến đổi trong một miền và trong miền đó và x khác y thì chúng chỉ đạt được vị thế ở vị trí x và y gần nhau nhất khái niệm độ gần đều
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Xét các cặp số không âm .Ta gọi hiệu
là độ lệch của cặp số hay là độ gần đều của cặp số
Nếu ρ(x,y) = 0 x = y cặp đều
Nếu x ≠ y ρ(x,y) > 0 độ gần đều
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Khi ta có một cặp số a, b dương có tổng bằng 9.
Ta có một loạt các bộ số: (1,8), (2,7), (3,6), (4,5) có tổng bằng 9.
Tất cả có chung một đặc trưng:
(x.y) ≤ (9/2)2
Nếu xem xét kỹ ta thấy các tích:
1.8 < 2.7 < 3.6 < 4.5
Vậy cặp số có tổng không đổi thì khi x và y càng gần đều nhau thì tích càng lớn ta được thứ tự sắp chặt của bộ số đó tiến gần đến trường hợp đều.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Định lý 1. Xét các cặp số không âm với tổng không đổi
(để đơn giản, ta chọn ). Khi đó
Khi và chỉ khi cặp gần đều hơn cặp
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Định lý 2. Xét các cặp số không âm với tích không đổi
(để đơn giản, ta chọn ). Khi đó
khi và chỉ khi cặp gần đều hơn cặp
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Định lý 3. (H. W. Melaughlin, F. T. Metcalf). Với mọi cặp dãy số dương
và sao cho hoặc
ta đều có
đây chính là một dạng nội suy bất đẳng thức Cauchy trong [0,1].
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Kỹ thuật tách và ghép bộ số
Thông thường chúng ta xem xét BĐT Cauchy là BĐT của 2 bộ số. Tuy nhiên trong thực tế, đa số 2 bộ số đó xuất phát từ 1 bộ số (1 bộ số cố định và một bộ số thu được từ các biến đổi của bộ số cố định này).
Đây là một bài toán được dùng nhiều trong phân tích cấu trúc. Thực chất của kỹ thuật tách ghép chính là cách sắp thứ tự và điều chỉnh bộ số theo quá trình gần đều hoặc đều theo từng nhóm.
Ứng dụng của chúng cho các bài toán tối ưu trong đời sống hàng ngày là khá nhiều.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Thứ tự và sắp lại thứ tự của bộ số
Cho bộ số gồm 3 số a,b, c thoả mãn a < b < c
Khi đó gọi:
a là min(x,y,z);
c là max(x,y,z); và
b là med(x,y,z), ta có:
max(a,b,c) ≥ med(a,b,c) ≥ min(a,b,c)
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Cho một Δ ABC bất kỳ. Dưới góc độ bất biến, không kể độ lớn ta có thể khẳng định:
Ba góc A, B, C > 0 và A + B + C = π
Trong tam giác đều ta có: A = B = C = π/3
Như vậy cho một Δ bất kỳ thì Δ này là xa đều hơn Δ đều vì hiệu giữa max và min của tam giác này luôn lớn hơn hoặc bằng không, còn hiệu giưa max và min của tam giác đều bao giờ cũng bằng không.
Do đó trong các bài toán BĐT thường ta đi so sánh giữa các BĐT đã cho với các BĐT của các tam giác đều.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Không mất tính tổng quát có thể coi A là góc lớn nhất, góc C là góc nhỏ nhất, hiển nhiên ta có:
A ≥ π/3 vì max ≥ (A+B+C)/3
C≤ π/3
Thứ tự sắp được của bộ 3 số đó:
A ≥ π/3
A + B ≥ π/3 + π/3
A + B + C = π/3 + π/3 + π/3 = π
Từ so sánh này ta có thể thay các góc A, B, C bằng các biểu thức khác nhau.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Xét một Δ ABC không nhọn (tù hoặc vuông), A > B > C, ta có:
A ≥ π/2
C ≤ π/4 vì B + C ≤ π/2
Ta có thể thấy ngay rằng:
Trong các tam giác không nhọn thì tam giác vuông cân là tam giác gần đều nhất
Vì vậy nếu ta có 1 BĐT liên quan đến tam giác bất kỳ so sánh với tam giác đều thì ta cũng có BĐT liên quan đến các tam giác không nhọn so sánh với tam giác vuông cân.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Ứng dụng của BĐT Cauchy là rất nhiều.
Đặc biệt khi liên quan đến tam thức bậc hai, một ứng dụng lớn nhất là tìm max và min của các dạng phân thức.
Dạng phân thức có cấu trúc trặt và gặp nhiều trong các bài toán thi Olympic quốc gia và quốc tế là dạng phân thức mà tử số và mẫu số đều là các đa thức bậc không quá hai.
Cấu trúc đề tìm max và min khi dùng BĐT Cauchy cũng như tam thức bậc hai là cấu trúc có chiều ngược lại với truyền thống các bài toán sử dụng các phép tính vi phân.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
1.1. 1 Tam thức bậc hai
Ta cã bất đẳng thức cơ bản:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Gần với bất đẳng thức (1.1) là bất đẳng thức dạng sau:
hay
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
Xét tam thức bậc hai:
Khi đó
với
Định lý 1.1. Xét tam thức bậc hai:
i) Nếu thì
ii) Nếu thì Dấu đẳng thức xảy ra
khi và chỉ khi
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
iii) Nếu thì với
Trong trường hợp này, khi
và khi hoặc
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
Định lý 2. (Định lý đảo). Điều kiện cần và đủ để tồn tại số sao
cho
là:
và
trong đó: là các nghiệm của xác định theo (1.2).
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
Định lý 3. Với mọi tam thức bậc hai có nghiệm thực đều tồn tại một
nguyên hàm là đa thức bậc ba, có ba nghiệm đều thực.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
Định lý 4. Tam thức bậc hai có nghiệm (thực)
khi và chỉ khi hệ số có dạng:
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
1.1.2 Ph¬ng ph¸p:
Xét đa thức thuần nhất bậc hai hai biến (xem như tam thức bậc hai đối với )
Khi đó, nếu thì
Vậy khi và thì hiển nhiên
trường hợp riêng khi ta nhận lại được kết quả
hay
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
1.1.3 Áp dụng lý thuyết:
Ví dụ 1. Cho là các số thực sao cho Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ 2. Cho Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu
thức
Ví dụ 3. Cho Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu
thức
1.1.4. Tam thức bậc và tam thức bậc
Bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng
Khi có thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc hai.
Ta cần thiết lập bất đẳng thức dạng
sao cho dấu đẳng thức vẫn xảy ra khi và chỉ khi
Thay vào (1.9), ta nhận được tức là (1.9) có dạng
Đây chính là bất đẳng thức Bernoulli quen biết.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
Bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng
có thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc (2,1) (ứng với luỹ thừa 2 và luỹ thừa 1 của ), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Mở rộng cho tam thức bậc
bằng cách thay luỹ thừa 2 bởi số và luỹ thừa 1 bởi
Thật vậy, ta cần thiết lập bất đẳng thức dạng
sao cho dấu đẳng thức vẫn xảy ra khi và chỉ khi
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
Sử dụng phép đổi biến và ta có thể đưa (1.13) về dạng
So sánh với (1.8), ta thấy ngay cần chọn và Vậy nên
Hay
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
Định lý 1. Giả sử cho trước và cặp số thỏa mãn điều kiện
Khi đó
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
Định lý 2. Tam thức bậc dạng
trong đó và có tính chất sau
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
Hệ quả 3. Tam thức bậc dạng
Trong đó và có tính chất sau
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
Bạn đã hoàn thành Mục 1.1 Chương 1
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI
BÀI GIẢNG
1.2.1.D¹ng thuËn cña bÊt ®¼ng thøc Cauchy:
Tiếp theo thực hiện ý tưởng của Cauchy (Augustin-Louis Cauchy 1789 – 1857) đối với tổng
Ta nhận được tam thức bậc hai dạng
nên
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
BÀI GIẢNG
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
BÀI GIẢNG
Với mọi bộ số ta luôn có bất đẳng thức sau
Dấu đẳng thức trong (1.4) xảy ra khi và chỉ khi bộ số và tỷ lệ với nhau, tức tồn tại cặp số thực không đồng thời bằng 0, sao cho
Bất đẳng thức (1.4) thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy (®«i khi cßn ®îc gäi lµ bất đẳng thức Bunhiacovski, bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski hoặc bất đẳng thức Cauchy – Schwarz).
1.2.2 Dạng phức của bất đẳng thức Cauchy
Nhận xét rằng từ một đẳng thức đã cho đối với bộ số thực ta đều có thể mở
rộng (theo nhiều cách thức khác nhau) thành một đẳng thức mới cho bộ số
phức. Chẳng hạn, ta có thể coi mọi số thực đã cho như là phần thực của một
số phức
Ta nêu một số đồng nhất thức về sau cần sử dụng
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
BÀI GIẢNG
Định lý 1. Với mọi bộ số ta luôn có đẳng thức sau
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
BÀI GIẢNG
Định lý 2. Với mọi bộ số phức ta luôn có đẳng thức sau
Hệ thức (1.6) cho ta bất đẳng thức Cauchy sau đây đối với bộ số phức.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
BÀI GIẢNG
1.2.3 Dạng đảo của bất đẳng thức Cauchy
Hệ quả 1. Với mọi bộ số phức ta luôn có bất đẳng thức sau
Giả sử ta có bộ các cặp số dương sao cho
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
BÀI GIẢNG
Khi đó, theo định lý đảo của tam thức bậc hai thì
hay
Từ đây suy ra
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
BÀI GIẢNG
Theo bất đẳng thức Cauchy, thì
Vậy nên
Từ đây, ta thu được bất đẳng thức đảo Cauchy.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
BÀI GIẢNG
Bạn đã hoàn thành Mục 1.2 Chương 1
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
BÀI GIẢNG
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN
BÀI GIẢNG
Định lý 1.(H. W. Mclaughlin). Với mọi bộ số thực
và ta đều có
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
và
ứng với mọi
Tương tự, ta có thể mở rộng bất đẳng thức Cauchy cho bốn bộ số
Sử dụng kỹ thuật bất đẳng thức Cauchy đối với và
ta thu được
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN
BÀI GIẢNG
Định lý 2. (A. M. Ostrowski). Cho hai dãy không tỷ lệ
và và dãy số thực thỏa mãn điều
kiện
Khi đó
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN
BÀI GIẢNG
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN
BÀI GIẢNG
Định lý 3. (K. Fan and J. Todd). Với mọi dãy số thực
và thỏa mãn điều kiện ứng với
ta đều có
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN
BÀI GIẢNG
Bạn đã hoàn thành Mục 1.3 Chương 1
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN
BÀI GIẢNG
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
1.4.1. Độ gần đều và sắp thứ tự dãy cặp điểm
Từ bất đẳng thức
Ta suy ra với mọi cặp số không âm với tổng bằng 1 cho trước thì tích
đạt giá trị lớn nhất bằng khi Vậy
Tương tự đối với một cặp ta cũng có:
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Định nghĩa 1. (i) Xét các cặp số không âm với tổng không đổi (để đơn giản, ta chọn ). Ta gọi hiệu
là độ lệch của cặp số hay là độ gần đều của cặp số
(ii) Cặp được gọi là gần đều hơn (độ lệch nhỏ hơn) cặp (hay cặp được gọi là xa đều hơn cặp ) nếu
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Định nghĩa 2. (i) Xét các cặp số dương với tích không đổi (để đơn giản
ta chọn ). Ta gọi hiệu
là độ lệch của cặp số hay là độ gần đều của cặp số .
(ii) Cặp được gọi là gần đều hơn (độ lệch nhỏ hơn) cặp (hay cặp
được gọi là xa đều hơn cặp ) nếu
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Định lý 1. Xét các cặp số không âm với tổng không đổi
(để đơn giản, ta chọn ). Khi đó
Khi và chỉ khi cặp gần đều hơn cặp
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Định lý 2. Xét các cặp số không âm với tích không đổi
(để đơn giản, ta chọn ). Khi đó
khi và chỉ khi cặp gần đều hơn cặp
Định lý 3. (H. W. Melaughlin, F. T. Metcalf). Với mọi cặp dãy số dương
và sao cho hoặc
ta đều có
đây chính là một dạng nội suy bất đẳng thức Cauchy trong [0,1].
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
1.4.2. Kỹ thuật tách và ghép bộ số
Trong những năm gần đây, khá nhiều dạng bất đẳng thức trong các đề kỳ thi Olympic quốc tế, vô địch quốc gia của nhiều nước trên thế giới. Rất nhiều bài toán về bất đẳng thức xuất phát từ các phép biến đổi biểu thức đối xứng theo các kiểu (đặc thù) khác nhau.
Trong mục này chúng ta đưa ra một số dạng bất đẳng thức giải dựa chủ yếu vào kỹ thuật tách, ghép và điều chỉnh bộ hệ số trong bất đẳng thức Cauchy.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Để minh hoạ và để tính toán đơn giản, ta chủ yếu xét các ví dụ với cặp bộ ba biến. Thực chất của kỹ thuật này cũng chính là cách sắp thứ tự và điều chỉnh bộ số theo quá trình gần đều hoặc đều theo từng nhóm.
Bài toán 1.13. Cho Chứng minh rằng
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Bài toán 1.14. Cho Chứng minh rằng
Nhận xét 1.3. Bằng phương pháp tương tự, ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức sau:
Với mọi cặp số dương và bộ số dương với tổng ta đều có
Bài toán 1.15. Cho Chứng minh rằng
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Bài toán 1.16 (APMO 1991). Cho hai bộ số dương và
có chung tổng
Chứng minh rằng
Bài toán 1.17. Cho Chứng minh rằng
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Bài toán 1.18 (Japan MO – 2004). Cho Chứng minh rằng
Bài toán 1.19 (MO Romanian 2004). Chứng minh rằng với mọi ta đều có
Bài toán 1. 20 (MO USA). Xét các số dương thỏa mãn các điều kiện
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Bài toán 1. 21. Chứng minh rằng, với mọi bộ số dương thỏa mãn điều kiện ta đều có
Bài toán 1. 22. Chứng minh rằng với mọi bộ số dương ta đều có
Bài toán 1. 23. Chứng minh rằng với mọi bộ số dương ta đều có
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Bài toán 1. 24. Cho hai bộ số dương và Chứng minh rằng
Bài toán 1. 25. Cho tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
1.4.3. Thứ tự và sắp lại thứ tự của bộ số
Kỹ thuật này để phù hợp với đặc thù của bài toán đóng vai trò rất tích cực trong việc định hướng sáng tác bài tập cũng như định hướng cách chứng minh các bất đẳng thức.
Chú ý rằng, sau khi sắp lại thứ tự bộ số, chẳng hạn ta thấy ngay cặp số gần đều hơn cặp
Vì vậy, ứng với mọi ta dễ dàng kiểm chứng hàm số có tính chất
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
hay
Một cách tổng quát với mỗi bộ số sắp được
và với mọi ta đều có
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
1.4.4. Điều chỉnh và lựa chọn tham số
Đối với một số bất đẳng thức đồng bậc dạng không đối xứng thì dấu đẳng thức trong bất đẳng thức thường xảy ra khi giá trị của các biến tương ứng không bằng nhau.
Kỹ thuật cơ bản nhất giải các bài toán cực trị dạng không đối xứng chính là xây dựng thuật toán sắp thứ tự gần đều.
Tham số tự do cần thiết thường là các giá trị trung gian được xác định sau theo cách chọn đặc biệt để tất cả các dấu đẳng thức đồng thời xảy ra.
Tham số phụ được đưa vào một cách hợp lí để phương trình xác định chúng có nghiệm.
Bài toán 1.29. Cho số dương Xét bộ số dương thỏa mãn điều kiện
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài toán 1.30. Cho là các số dương. Xét bộ số dương thỏa mãn điều kiện
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Nhận xét 1.5. Hai bài toán trên hoàn toàn có thể giải được theo phương pháp tam thức bậc hai thông thường.
Bài toán 1.31 (Thi chọn đội tuyển Việt Nam dự IMO – 1994). Xét bộ số thực
thỏa mãn điều kiện
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Bài toán 1.32. Xét bộ số thỏa mãn điều kiện
trong đó là số dương cho trước. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Bạn đã hoàn thành Mục 1.4 Chương 1
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
BÀI GIẢNG
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Bất đẳng thức Cauchy
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Ta có đồng nhất thức
Để ý rằng nên ta có
Vì vậy có thể coi bất đẳng thức Cauchy thực chất là bất đẳng thức suy ra từ hằng đẳng thức đáng nhớ.
Khi biểu diễn dưới dạng phức tạp hơn, chẳng hạn
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Xét với
Đồng nhất thức Lagrange
Bài toán 1: Ký hiệu
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Chứng minh rằng với mọi bộ số ta có
Hệ quả: Từ đồng nhất thức trên ta thấy VP > 0 nên suy ra VT >0. Khi đó chia
cả hai vế cho
nếu thì
Khi đó ta luôn có bất đẳng thức sau
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Các bài tập
ứng dụng tam thức bậc hai
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
HD giải: Trường hợp thì
có thể tìm được GTLN, GTNN bằng phương pháp tam thức bậc hai
Tìm giá trị của y để phương trình (1) có nghiệm
có nghiệm
*) xảy ra khi
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
*) phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
1) Với nên bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi của tam thức bậc hai (2) >0.
Gọi là nghiệm của phương trình khi đó
Dấu “=“ xảy ra khi
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
2) Với thì ta không áp dụng được như trường hợp trên, bài toán tìm giá trị LN, NN trở thành tìm GTLN, NN trên một miền.
Ví dụ: Xét các biểu thức đối xứng
Nếu cho thì
Nếu cho thì
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Bài toán 2: Cho là các số thực sao cho
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giải: Đặt Khi đó xét
Nếu
Nếu suy ra
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Ta nhận thấy rằng nếu ký hiệu
Ta cần tìm
Nhận xét:
+)
+) Không mất tính tổng quát xem (1) ta có
Khi đó
có nghiệm
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Kết hợp với nhận xét ta có
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Dấu “=“ đạt được khi
Trong đó
Từ (2) ta tìm được
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Bài toán 3: Giả sử các số thực thoả mãn điều kiện
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giải: Ta có
Xét khi chia cả tử và mẫu cho ta thu được
trong đó
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Ta có thể xét biểu thức trên là tam thức bậc 2 đối với u nghĩa là:
Theo (1)
khi đó ta có
Gọi là nghiệm dương của (2) ta nhận được
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Bài toán 4. Cho tam thức bậc hai thỏa mãn điều kiện
Tìm giá trị lớn nhất của với
HD giải: Ta có:
hay
Suy ra
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Ta lại có
Khi đó
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Vì nên Do đó
Suy ra Vậy
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Tam thức bậc và
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Xét trường hợp đặc biệt: Với thì
Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi
Bất đẳng thức đang xét là bất đẳng thức chuyển đổi giữa điểm 0 và điểm 2 về điểm giữa trên đoạn này.
Câu hỏi đặt ra là quá trình chuyển đổi đó được thực hiện theo cách nào?
Với cho trước xét
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
thì bất đẳng thức (1) có dạng
Hỏi có xảy ra bất đẳng thức sau hay không?
Nếu (2) xảy ra thì ta thay 0; 1 bằng bất đẳng thức mới thì cho ta quy trình chuyển từ bậc 2 sang bậc bất kỳ gọi là tam thức bậc
Ta còn có
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Bài toán 1: Cho
Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
HD giải:
là tam thức bậc hai.
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Bài toán 2: Cho
Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
HD giải:
Chia cả hai vế cho ta được
Đặt
Ta có
Không mất tính tổng quát ta xét
Xét hàm số
ta chứng minh rằng với
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Ta có
Đặt
Ta nhận thấy
Mà nên ta chứng minh 1 là điểm cực tiểu của hàm
Hướng dẫn giải bài tập
BÀI GIẢNG
Thật vậy
vì và
Nên nghịch biến trong suy ra điều phải chứng minh
* Một số tài liệu cũ có thể bị lỗi font khi hiển thị do dùng bộ mã không phải Unikey ...
Người chia sẻ: Phan Đình Trung
Dung lượng: |
Lượt tài: 1
Loại file:
Nguồn : Chưa rõ
(Tài liệu chưa được thẩm định)