Chương IV. §1. Bất đẳng thức

Xin chào các bạn, sau khi học xong cách giải một phương trình, hệ phương trình, ta bước sang chương mới cũng rất quan trọng. Nó chiếm từ 1 đến 2 điểm trong bài thi Tuyển sinh Đại học, riêng phần bất đẳng thức là 1 điểm. Mặt khác chương này lại có phần khó đối với các bạn học sinh lớp 10, do đó chúng ta cần phải xác định phương pháp học thật rõ ràng và chăm chỉ làm bài tập thì mới có kết quả cao. Rất mong các bạn ý thức được việc đó và hợp tác với nhau để đạt được kết quả thật cao. Bây giờ ta bắt đầu cùng nhau khám phá Bài học mới:
Bất đẳng thức là gì?
Tính chất của bất đẳng thức
Một số bất đẳng thức thường gặp
Vận dụng một số phương pháp để chứng minh bất đẳng thức
BẤT ĐẲNG THỨC
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I- Ôn tập bất đẳng thức
1. Khái niệm bất đẳng thức:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
Đáp án: a,c đúng; b sai.
Định nghĩa:
Các mệnh đề dạng “ab” được gọi là bất đẳng thức.
Vd:
a) 5 < 10
b) -15<-1
c) a< b với a<0, b>0
Cũng như các mệnh đề logic khác, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai.
Việc chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.
II. Bất đẳng thức hệ quả và
bất đẳng thức tương đương
Định lí:
Vd:
Định lí:
Nếu bất đẳng thức aVd:
III. Tính chất của bất đẳng thức
Tổng quát: Khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được cho trong bảng sau:
Vd:

Giải
a) Giả sử
(Đúng)
Vậy
b)
2) Nếu A, B là những biểu thức chứa biến thì A>B là một mệnh đề chứa biến. Chứng minh bất đẳng thức A>B (với điều kiện của biến), nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến A>B đúng với tất cả các giá trị của các biến (thõa mãn điều kiện đã cho).
Qui ước: Khi nói ta có bất đẳng thức A>B (A, B là những biểu thức chứa biến) mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến thuộc R.
IV. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có tính chất sau:
Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:
Chứng minh:
Định lí:
V. Bất đẳng thức Trung bình cộng và Trung bình nhân:
a) Đối với hai số không âm:
Chứng minh:
Đẳng thức xảy ra
b) Đối với ba số không âm:
Tương tự như đối với hai số không âm, ta có định lí đối với ba số không âm như sau:
Định lí:
Áp dụng:
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức:
Biến đổi tương đương
Sử dụng các bất đẳng thức đã biết (Cauchy, Bunhiacopxki,..)
Dùng tam thức bậc hai
Dùng qui nạp toán học
Làm trội số hạng
Sử dụng hình học vector
Phối hợp nhiều phương pháp
Một số phương pháp khác như dùng đạo hàm, tích phân, phương pháp hàm số…
Ứng dụng bất đẳng thức để tìm min, max của các biểu thức.
Các bạn làm hết các bài tập trong SGK và SBT.
Augustin Louis Cauchy (đôi khi tên họ được viết Cô-si) là một nhà toán học người Pháp sinh ngày 21 tháng 8 năm 1789 tại Paris và mất ngày 23 tháng 5 năm 1857 cũng tại Paris. Ông vào học Trường Bách khoa Paris (École Polytechnique) lúc 16 tuổi.
Năm 1813, ông từ bỏ nghề kỹ sư để chuyên lo về toán học.
Ông dạy toán ở Trường Bách khoa và thành hội viên Hàn lâm viện Khoa học Pháp.
Công trình lớn nhất của ông là lý thuyết hàm số với ẩn số tạp.
Ông cũng đóng góp rất nhiều trong lãnh vực toán tích phân và toán vi phân.
Ông đã đặt ra những tiêu chuẩn Cauchy để nghiên cứu về sự hội tụ của các dãy trong toán học.
Cauchy (1789-1857)
Cảm ơn các bạn đã lắng nghe.
Chúc các bạn làm bài thật tốt.