Chương IV. §1. Bất đẳng thức

BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU
MÔN TOÁN LỚP 10
Giáo viên Đỗ Thị Bích Thủy
1. Khái niệm và tính chất của bất đẳng thức.
a) Khái niệm bất đẳng thức.
Giả sử a, b là hai số thực.
Các mệnh đề “a>b”;”a<b”;“a≥b”;”a≤b” được gọi là bất đẳng thức.
Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.
BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
b) Tính chất của bất đẳng thức.
Tính chất bắc cầu:a>b và b>c  a>c.
Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số:
a>b  a+c>b+c, c.
Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số:
a>b  ac>bc, c>0.
a>b  ac<bc, c<0.
BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều:
a>b và c>d  a+c>b+d
Chuyển vế:a+c>b  a>b−c
Nhân vế với vế của hai bđt dương cùng chiều:
a>b≥0 và c>d≥0  ac>bd.
Lũy thừa bậc chẵn hai vế của bất đẳng thức:
a≥0, b≥0 và n*, ta có a>b  a2n>b2n
Khai căn hai vế của bất đẳng thức:
Ví dụ 1: Chứng minh với mọi x ta có:
x2 > 2(x – 1)
Ví dụ 2: Chứng minh nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thì:
(b + c – a)(c + a – b)(a + b – c)≤abc
2. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.
Với mọi a, ta có: –|a|≤a≤|a|
Với a>0, ta có: |x|<a  –a<x<a
Với a>0, ta có: |x|>a  x<–ax>a
Với a, b, ta có:
|a|−|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Ví dụ 3: Cho x, y, chứng minh
|3–x+y|+|y|+|8–x|≥5
Giải.
|3–x+y|+|y|+|8–x|≥|3–x+y|+|y+8–x|
≥|3–x+y|+|x – 8–y|
≥|3–x+y+x – 8–y|
≥|–5| = 5
BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Hãy chứng minh bất đẳng thức trên.
Phát biểu bằng lời bất đẳng thức trên.
BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
3. Bất đẳng thức Cauchy.
Hệ quả:
Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Chứng minh:
Giả sử hai số dương x, y có tổng x + y = S không đổi.
Khi đó:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y.
Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Chứng minh:
Giả sử hai số dương x, y có tích xy = P không đổi.
Khi đó:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y.
BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC