Chương IV. §1. Bất đẳng thức

CHƯƠNG 4: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BÀI 1: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
(ĐẠI SỐ 10_NÂNG CAO)
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Ôn tập và bổ sung tính chất của bất đẳng thức.
Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.
Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân.
Ôn tập và bổ sung tính chất của bất đẳng thức.

Khái niệm bất đẳng thức
Gỉa sử a, b là hai số thực. Các mệnh đề “a > b”, “a < b”, “a ≤ b”, “a ≥ b” được gọi là bất đẳng thức.
Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.
Ôn tập và bổ sung tính chất của bất đẳng thức.
Tính chất của bất đẳng thức:
a > b và b > c  a > c
a > b  a + c > b + c
a>b  ac>bc, c>0
a>b  ac<bc, c<0

Ôn tập và bổ sung tính chất của bất đẳng thức
Hệ quả:
a>b và c>d  a+c>b+d
a+c>b  a>b−c
a>b≥0 và c>d≥0  ac>bd
a> b≥0 và nN* a  an > bn

Ví dụ 1: Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh hai số và 3
Ví dụ 1: Chứng minh với mọi x ta có:
x2 > 2(x – 1)
Ví dụ 2: Chứng minh nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thì:
(b + c – a)(c + a – b)(a + b – c)≤abc
Ví dụ 1:

Giả sử . Do 2 vế của đẳng thức đều dương nên :





Vậy:
Ví dụ 2:
Ví dụ 3:
Ta có các bất đẳng thức hiển nhiên sau:




Do a,b,c là độ dài tam giác nên tất cả các vế của các bdt đều dương.Nhân vế với vế của 3 bdt trên ta được:


Lấy căn bậc 2 hai vế suy ra điều phải chứng minh.
Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
Với mọi a, ta có: –|a|≤a≤|a|
Với a>0, ta có: |x|<a  –a<x<a
Với a>0, ta có: |x|>a  x<–ax>a
Với a, b, ta có:
|a|−|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

Chứng minh: | a |- |b | ≤ |a+b | ≤ |a |+ |b |
Ta có
|a+b | ≤ |a |+ |b |  (a+b)2 ≤ a2+2 |ab |+b2
 a2+2ab+b2 ≤a2+2 |ab |+b2
 ab ≤ |ab | (*)
Bất đẳng thức cuối đúng
| a |- |b | = | a+b+(-b) |- |b | ≤ |a+b |+ |(-b )| - |b | (theo *)
= | a+b |
Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân.
Đối với 2 số không âm.
Định lý:
Cho a≥0 và b≥0, ta có:


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Chứng minh:
Với a≥0 và b≥0, ta có:


Do đó:

Dấu đẳng thức xảy ra khi tức là:a=b
Bài tập áp dụng:
Chứng minh nếu a,b,c là 3 số dương bất kì thì:
Giải
Ta có:
Hệ quả
Hệ quả:
- Nếu 2 số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau.
- Nếu 2 số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau.
Ứng dụng:
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích , hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
b) Đối với 3 số không âm
Với mọi , ta có:



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Bài tập áp dụng:
Chứng minh rằng nếu a, b, c là 3 số dương thì:


Giải
BT3: Vì a,b,c là 3 số dương nên:

(đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c) và


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi )
Do đó:

Đẳng thức xảy ra khi:


Vậy đẳng thức xảy ra khi a=b=c.(Đpcm)
Bài tập về nhà
Làm các bài tập trang 109, 110

HẾT BÀI RỒI!