Chương IV. §1. Bất đẳng thức

Bất đẳng thức là gì?
Tính chất của bất đẳng thức
Một số bất đẳng thức thường gặp
Vận dụng một số phương pháp để chứng minh bất đẳng thức
?1:Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng.
Đ
Đ
S
Đ
?2: Chọn dấu thích hợp ( =, <, >)
để khi điền vào ô vuông ta được một mệnh đề đúng
<
>
=
>
Các mệnh đề ở ?1 và các mệh đề ở câu a, b, d ở ?2 là các bất đẳng thức.
<
>
=
>
?1
?2
Các mệnh đề dạng “ a < b, a  b , a > b hoặc a  b” được gọi là các bất đẳng thức
Chú ý: Ta còn gặp các mệnh đề dạng
Các mệnh đề này cũng được gọi là các bất đẳng thức .
Nếu mệnh đề “ a < b => c < d ” đúng thì ta nói
bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của
bất đẳng thức a < b và cũng viết là a < b => c < d
Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là
a < b <=> c < d
Nếu phương trình f(x) = g(x) => f1(x) = g1(x) thì f1(x) = g1(x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = g(x)
?3: chứng minh a < b  a – b < 0
CM : a < b => a – b < 0 (1)
Ta có: a < b => a + (-b) < b + (-b) => a – b < 0
CM: a – b < 0 => a < b (2)
Ta có: a – b < 0 => a – b + b < 0 + b => a < b
Từ (1) và (2) ta có a < b  a – b < 0
1
2
3
4
5
6
Có: 5 < 7
So sánh: 5 +(-3) …… 7 +(-3)

TC
<
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
5 < 7 => 5 +(-3) < 7 +(-3)
5 +(-3) < 7 +(-3) => 5 < 7

Đ
Đ
5 < 7 <=> 5 +(-3) < 7 +(-3)
Có: - 6 < - 3;
So sánh:
(-6) . 5 ……. (- 3) . 5
(-6) . (-9) …… (-3) . (-9)
<
>
TC
? Hãy so sánh:
<
<
=

Là trung bình nhân của hai số 2, 32
Là trung bình cộng của hai số 2, 32
Có nhận xét gì về trung bình nhân và trung bình cộng của hai số không âm?
? Hãy so sánh:
<
<
=
Định lí: Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng
Định lí: Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng
CM:
BĐT Côsi
Cho 3 số không âm a, b, c
Dấu ‘=‘ xãy ra khi
a=b=c
BĐT Côsi
Cho 2 số không âm a, b
Dấu ‘=‘ xãy ra khi
a=b
VD: Cho a,b dương. CMR:
a) a/b+b/a 2. c) (a+b)(ab+1) 4ab
b) a2b+ab2  a3+b3
a) Chứng minh
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương
Dấu “= “ xảy ra khi a = b
VD: Cho a,b dương. CMR:

VD: Cho a,b dương. CMR:
b) (a+b)(ab+1) 4ab

Câu b):
áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm, ta có:




Nhân theo vế (1) và (2), ta được:
(a+b)(ab+1)4ab (đpcm).
Dấu ‘=‘ xảy ra  {a=b và ab=1} a=b=1


VD: Cho a,b dương. CMR:
c) a3+b3  a2b+ab2
Giải:
c).Ta có:
(a)a3-a2b+b3-ab2 0
a2(a-b)- b2(a-b)0
(a-b)(a2-b2)0
(a-b)2(a+b)0 (a’).
Vì (a-b)20 và a+b>0
nên (a’) luôn đúng.
Vậy (a) đúng.
C1
C2
HD: Có thể áp dụng tính chất: a  b  a –b  0 để chứng minh
BĐT Côsi
Cho 3 số không âm a, b, c
Dấu ‘=‘ xãy ra khi
a=b=c
BĐT Côsi
Cho 2 số không âm a, b
Dấu ‘=‘ xãy ra khi
a=b